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随机过程及其应用-清华大学 随机过程及其应用-清华大学 4.1(等待时间的和) 设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在[0, t ]时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？ 对于某一个乘客而言，假设其到达时间为t k ，那么他等待时间就是 t -t k 所以乘客总的等待时间为S (t ) =∑(t -t k ) k =0N (t ) 使用条件期望来处理平均等待E (S (t )) =E (E (t ) |N (t ) =n ) 对于某已成了而言，其到达时刻t k 随机[0, t ]内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在N (t ) =n 的条件下， t 1, t 2,..., t n 形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和t 1+... +t n 而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的[0, t ]内均匀分布的随机变量，所以 E (E (t ) |N (t ) =n ) =nt -E (∑t k ) =nt - nt nt =22 N (t ) t t λt 2 从而有E (E (t )) =E () =E (N (t )) = 4.2(数值记录) 设{X n , n ∈N }是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率λ(t ) 如下λ(t ) = 1-F (t ) 这里f (t ) 和F (t ) 分别是X k 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 N (t ) 如下N (t ) =#{n :X n max(X n -1,.., X 0), X n ≤t } 这里#A 表示集合A 中的元素个数。如果把N (t ) 中的时间t 看做时间，那么N (t ) 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于X k 彼此独立，所以N (t ) 具有独立增量性。很明显N (0) =0，于是只需要检查一个时间微元内N (t ) 的状态。 假定?t 充分小，在X n ,..., X 0中只有X n 在(t , t +?t ]上，因此 P (N (t +?t ) -N (t ) =1) =∑P (X n ∈(t , t +?],X n max(X n -1,..., X 1)) P (X n ∈(t , t +?],X n max(X n -1,..., X 1)) =P (X n ∈(t , t +?],X n -1≤t ,..., X 1≤t ) =P (X n ∈(t , t +?])P (X n -1≤t ,..., X 1≤t ) =(f (t ) ?t +o (?t ))(F (t )) P (N (t +?t ) -N (t ) =1) =(f (t ) ?t +o (?t )) ∑(F (x )) n -1 f (t ) ?t +o (?t ) 1-F (t ) =λ(t ) ?t +o (?t ) = 另一方面，可以证明P (N (t +?t ) -N (t ) ≥2) =o (?t ) 所以N (t ) 是非齐次的Poisson 过程，强度λ(t ) 。 这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为F (t ) 和f (t ) ，那么风险率微元λ(t ) ?t +o (?t ) 表示该器件在[0, 1]时间段内为失效的条件下，将会在 [t , t +?t ]内失效的概率。由此可以说明“风险”一次的含义。从而可 知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。事实上，由 F (t ) =λ(1-F (t )), F (0) =0 上式正好指数分布的分布函数。 dt 直接解得F (t ) =1-exp(-λt ) 4.3(Poisson过程的和与差) 两个独立的Poisson 过程的和仍然是Poisson 过程，事实上，设N 1(t ) 和N 2(t ) 是两个独立的Poisson 过程，参数分别是λ1和λ2。则N 1(t ) +N 2(t ) 的母函数为 G N 1(t ) +N 2(t ) (z , t ) =E (z N 1(t ) +N 2(t ) ) =E (z N 1(t ) )(z N 2(t ) ) =G N 1(z , t ) G N 2(z , t ) =exp((λ1+λ2) t (z -1)) 所以N 1(