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* 第四节 标准M/M/c模型 四、运行指标 平均队列长 平均队长 平均逗留时间 平均等待时间 * 第四节 标准M/M/c模型 例题 某售票厅有三个窗口，顾客以每分钟4人的平均速率按泊松分布到达，排成一队依次到空闲窗口购票；售票时间服从负指数分布，均值为0.5分钟，试求系统的运行指标。 解： =3， =4人/分， =2人/分，则 ， ， 这是一个标准 排队系统。 售票厅空闲的概率为 ； 平均队列长为 (人) ； 平均队长： (人) ； 平均逗留时间： (分钟)； 平均等待时间： (分钟)。 系统中各售票口都没空闲的概率 * 第四节 标准M/M/c模型 例题 如果顾客到达后在每个窗口前各排成一队，且进入队列后不换队，这样就形成了三队并列的情况，即3个标准 M/M/1 型的子系统，每个队列平均到达率为?1=?2 =?3=3/4人/分。 排队模型 运行指标 售票厅空闲概率 0.111 0.33(每个售票口) 顾客必须等待概率 0.67 平均队列长 0.888人 1.33(每个售票口) 平均队长 2.888人 6(售票厅) 平均逗留时间 0.722分钟 4.25分钟 平均等待时间 0.222分钟 1分钟 * 第五节 M/G/1排队模型 M/G/1排队模型的服务时间服从任意分布，其均值为 ，方差为 ， 且 ，则Pollaczek Khintchine(PK)公式: 系统中顾客数的期望值 =队列中顾客数的期望值+服务机构中顾客数的期望值。 系统中逗留时间的期望值 =排队等待时间的期望值+服务时间的期望值。 * 例：某汽车冲洗站有一条自动冲洗线，假设冲洗的汽车按泊松分布到达，每小时平均4辆，冲洗每辆汽车所需时间为6分钟。 求：冲洗站内汽车的平均数 ；等待冲洗的平均汽车数 ；每辆汽车在冲洗站内的平均逗留时间 ；每辆汽车平均等待冲洗的时间 。 解： 辆/时， =0.1小时， ， 。 (辆)； (辆)； =0.1325（小时）； =0.0325（小时）。 第五节 M/G/1排队模型 * 第六节 排队系统的优化 设 为单位时间服务费用， 为一个顾客在系统中停留单位时间的逗留费用，取目标函数为单位时间总费用的期望， 又将 代入得： μ取何值时 为最小?可用微积分求极值的方法，即： 解之得， ，为保证 ，使 ，根号前取+号。 一、标准M/M/1模型中的最优服务率μ * 第六节 排队系统的优化 二、标准M/M/C模型中的最优服务台数c 为服务台数， 是系统中顾客平均数 或队列中等待的顾客平均数 ，取目标函数为单位时间和费用的期望。 为最小，则必须满足： 即 简化得： 依次求 时 之值，满足上式之 值就是最优服务台数。 * 第二节　矩阵对策 矩阵对策混合策略的解 设 是矩阵对策 的混合扩充,如果 ,记其值为 。则称 为对策的值,称使上式成立的混合局势 为在混合策略意义下的解(或简称解), 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略(或简称最优策略)。 例题：考虑矩阵对策 ,其中 在纯策略意义下的解不存在,于是设 为局中人Ⅰ的混合策略, 为局中人Ⅱ的混合策略,则 局中人Ⅰ的赢得期望值 取 ,则 ,即有 。故 和 分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略,对策值(局中人Ⅰ的