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充分统计量的证明及其相关结论 充分统计量的证明及其相关结论 第２３卷第３期阜阳师范学院学报（自然科学版）ＶｏＩ．２３，Ｎｏ．３２００６年９月ＪＱｕｒｎａｌｏｆＦｕｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌＩｅｇｅ（ＮａｔｕｒａＩＳｃｉｅｎｃｅ）Ｓｅｐ２００６ 充分统计量的证明及其相关结论 （西华师范大学数学与信息学院，四川南无６３７００２） 摘要：讨论了二种证明充分统计量的方法，并给出了几个相关结论． 关键词：充分统计量；证明；极大似然估计 中图分类号：０２１２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—４３２９（２００６）０３一００１０—０３ １充分统计量的涵义设总体ｘ服从某个分布Ｐ一（ｚ），为了对参数口作统计 推断，需要从该总体中抽取一个样本Ｘ一（Ｘ１，．．．’ 统计量的充分性是统计中最重要的基本概念之兄），样本Ｘ中含有口的信息，显然，对样本ｘ加工不 一．它是Ｒ．Ａ．Ｆｉｓ＾口，．于１９２２年提出的，但充分性的可能增加信息，不减少口的信息就是最好的了．由样严格叙述和证明是Ｈａｌｍｏｓ和Ｓａｖａｇｅ在１９４９年完成本Ｘ可算出统计量丁，假如能由统计量丁的值恢复的．样本，那么这种统计量就不会损失有关口的信息．要 定义在可测空间（Ｘ，Ｂ）上的统计量丁＝丁（ｚ），做到这一点，关键要在给定丁＝￡下，样本Ｘ的条件实际上是对样本Ｘ一（Ｘ１’．”，Ｘ。）进行某种加工的分布不依赖护于，即有 结果，这种加工从本质上体现了统计量压缩数据的Ｐｏ（Ｘ＝ｚ７１＝￡）＝Ｐ（Ｘ＝ｚＩ丁＝ｆ）功能．从理论上看，若丁是在（百，ｂ）上取值的可测映由以上分析知，在对样本的加工过程中，一个统照，那么对盯代数ｂ中任一元素ｃ在占中有一个原像计量“不损失信息”的数学描述是“在丁取任一个值 ７’－１（ｃ）＝｛ｚ：丁（ｚ）∈ｃ）∈Ｂ时，样本的条件分布不依赖于未知参数”，但允许丁把所有原像的全体记为的一个零测集有例外，由此可给出充分统计量的一丁－１（ｂ）＝（丁叫（ｃ）：ｆ∈ｂ）∈Ｂ般定义． 容易验证：丁－１（ｂ）是盯代数，并且是Ｂ的盯子代定义：设（Ｘ，Ｂ，｛Ｐ口∈＠））是一个统计结构，又数．这表明，有了统计量丁之后，原先样本所涉及的设Ｔ＝丁（Ｘ）是（Ｘ，Ｂ）到（ｔ，，ｂ）的一个统计量，Ｐ矿可测空间（Ｘ，Ｂ）换为另一个新的可测空间（Ｘ，是７１的诱导分布，假如在Ｐ万的零测集外，丁取任一７Ｔ＿１（ｂ）），差别在于盯代数缩小了，涉及到的事件减个值时ｒ，样本Ｘ＝（ｘ１’．”，Ｘ。）的条件分布都不依少了．只有在丁是一对一映照时盯代数才不能被压赖于曰，即对任意的口∈＠和Ｂ∈Ｂ，有 缩，统计中应用的统计量丁＝丁（ｚ）常常是多对一映Ｐ口（Ｂ几）一Ｐ（Ｂ／￡），盘?ｓ?Ｐ；。 照，盯代数缩小了是几乎肯定的．所以一般说来，任一则称丁为该分布族（或参数口）的充分统计量．个统计量都有压缩数据的功能，只是程度不同罢了．。 但是压缩不能过分，以至于抹杀了样本之间的重要２证明充分统计量的二种方法 差别，造成信息损失，在统计中把不损失信息的统计定义：设（ｘ，Ｂ，Ｐ）是一个统计结构，丁一丁（ｚ）量称为充分统计量［２］．是从可测空间（Ｘ，Ｂ）到（Ｊ，ｂ）的一个可测映照丁， “不损失信息”的统计量就是充分统计量．这是假若这个映照丁不依赖于分布族Ｐ，则称丁为此结一种模糊的说法，从数学的意义，它意味着什么呢？构上的统计量，假如Ｐ为参数分布族｛Ｐ一：口∈＠），则 收稿日期：２００６一０４一１５ ‘基金项目：全国统计科学研究立项（Ｌｘ０３一ｙ２３）；２００５年度西华师范大学科学研究项目（０５以００１）．作者简介：何鹏光（１９６５一），男，讲师．研究方向：高等数学的教学及研究． 第３期何鹏光：充分统计量的证明及其相关结论１ｌ不依赖于参数目的可测映照丁称为此结构上的统计 量［３。．分统计量，则在给定丁＝ｆ下，条件概率Ｐ口（Ｘ＝ｚｆ丁＝ｆ）与参数伊无关，它只能是ｚ的函数，此记＾（ｚ）． 另外，无条件概率ＰＦ（丁＝￡）记为印（ｆ），于是对 给定的￡及ｚ∈Ａ（ｆ），有 Ｐ口（ｚ）＝Ｐ口（Ｘ＝ｚ）＝ Ｐ口（Ｘ＝ｚ，丁＝ｆ）一由上定义可知，对任一总体和具体的统计问题，可以构造很多结构不一形式多样的统计量．但如何去验证一个统计量的充分性，一般可采用二种方法：（ｉ）定义法 所谓定义法就是对任意的护∈＠和Ｂ∈Ｂ，先求 出Ｂ（Ｂ办），若其与口无关，由充分统计量的定义即 可判定其是充分统计量，否则不然． 例Ｐ口（Ｘ—ｚｌ丁＝￡）Ｐ口（丁一￡）＝＾（ｚ）?ｇ口（ｔ）充分性：对任意ｚ∈Ａ（￡），有Ｐ口（Ｘ—ｚｌＴ—ｆ）一