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一般双模双耦合谐振子能谱的精确解 一般双模双耦合谐振子能谱的精确解 2021年3月 第30卷　第2期四川师范大学学报(自然科学版) Journal of Sichuan Nor mal University (Natural Science ) M ar . , 2021Vol . 30, No . 2 一般双模双耦合谐振子能谱的精确解 徐兴磊, 　李洪奇 (菏泽学院物理系, 山东菏泽274015) 摘要:在占有数表象中通过幺正变换将质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的哈密顿量对角化, 得到了双模双耦合谐振子体系能谱的精确解, 给出了求解双模耦合谐振子本征能谱的一般方法. 关键词:双模双耦合谐振子; 幺正变换; 能谱 中图分类号:O413. 1　　文献标识码:A 　　文章编号:100128395(2021) 0220220213 在量子力学、领域, . , 研. 解此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦合. 文[1]利用微扰论和坐标变换技巧研究了坐标耦合的双模谐振子问题, 文[2]研究了3个非全同谐振子的哈密顿量的退耦合, 文[3]给出了各向异性n 模耦合谐振子的精确解. 但这些工作研究的均是坐标耦合问题, 而未涉及动量耦合. 文[4]虽涉及动量耦合, 但给出的也只是两个全同谐振子体系在特殊耦合λ(m ω2x 1x 2p 1p 2) 作用下的结果. 而许多实际的 . , a j =a j πj j h /(m ωj j x j +i p j ) , πωj j h / (m ω. (2) j j x j -i p j ) , 　j =1, 2 a j 和a j 为谐振子消灭和产生算符, 满足 [a k , a l ]=δk l , 　[a k , a l ]=[a k , a l ]=0, 　k, l =1, 2. 在(2) 式的变换下, (1) 式化为 1a 1+a 1+2a 2+a 2+ α(a 1a 2+a 1+a 2+) +β(a 1a 2++a 1+a 2) + 物理问题往往等效成非全同谐振子体系 (ω1+ω2) , 2 失一般性, 本文将通过幺正变换精确求解质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的能谱. α=π4β=π4 1m 212λ ωω1m 212 1m 212) , 1m 2ω1ω2) . 2　质量和频率均不相同的双模双耦合谐振 子体系能谱的精确解 质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的哈密顿量为 为消除(a 1a 2+a 1a 2) 的耦合项, 作变换 b j =U (φ) a j U (φ) , 　j =1, 2, m 1ω1x 1+2 式中U (φ) =exp (a 1a 2-a 2a 1) φ为Schwinger 角动量表象中幺正转动算符 . 经过复杂运算, 可得 m 2ω2x 2+λx 1x 2+vp 1p 2, 2 φ-a 2sin φ, b 1=a 1co s φ+a 1sin φ, b 2=a 2co s [b k , b l ]=δk l , 　[b k , b l ]= 式中λ和v 分别为坐标耦合强度和动量耦合强度. 对(1) 式所示的哈密顿量, 直接在坐标表象中求解 收稿日期:2021-03-28 基金项目:山东省自然科学基金资助项目作者简介:徐兴磊(19702) , 男, 副教授 徐兴磊等:一般双模双耦合谐振子能谱的精确解　　221 [b k , b l ]=0, 　k, l =1, 2. (7) 将(6) 式代入(4) 式, 并利用(7) 式, 可得 H =A 1b 1b 1+A 2b 2b 2+B (b 1b 2+b 1b 2) +C [(b 2 S j (ξ=exp j ) j (d j -d j ) , 　j =1, 2, (17) 2 式中ξj 为实参量. 作压缩变换 +b ) -(8) ξe j =S j (ξj ) d j S j (j ) . ξξe j =cosh j d j +sinh j d j , +b ) ]+ (ω1+ω2) , A 1=A 2= ξξ=cosh +sinh j d j j d j , (19) (20) (21) 1cos φ+ 2sin φ-βsin2φ,