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专题五 基础学问
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假如 f
(x) 在点
x0 处有以下三种情形之一,就点
x0 是
f ( x)
的一个间断点:
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(1)在点
x0 处,
f ( x) 没有定义
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(2)
lim
f ( x) 不存在
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x x0
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(3)虽然
lim f ( x) 存在,但 lim
f ( x)
f ( x0 )
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x x0 x x 0
简洁地说,不连续的点即为间断点;间断点的分类:
左右极限都存在的间断点为第一类间断点,第一类间断点又可分为跳动间断点(左右极限不等)和可去间断点(左右极限相等) ;
左右极限至少有一个不存在的间断点为其次类间断点;
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x
0 是函数 y
1
arctan1
x
例题
的 间断点;
1
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解: y
arctan 在 x
x
0处没有定义,故 x
0是 y
arctan 的间断点,且
x
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lim arctan 1
lim arctan1
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x 0 x
2 2 x 0 x
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从而 x
0 是函数 y
arctan 1
x
的跳动间断点;
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x
0 是函数 y
1
2 x 1
1
2 x 1
的 间断点;
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解: y
1
2 x 1
1 在 x
2 x 1
0 处没有定义,故 x
0 是 y
1
2 x 1
1
2 x 1
的间断点,且
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1
2 x 1 0 1
lim 1 1
x 0 0 1
2 x 1
;..
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1
2 x 1
lim 1
1
1 2 x 1 0
lim 1 1
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x 0
2 x 1
x 0 1 0
1 2 x
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从而 x
0 是函数 y
1
2 x 1
1
2 x 1
的跳动间断点;
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函数
f ( x)
e2 x
x(x
1 的可去间断点为 ;
1)
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解: f
( x)
e2 x
x( x
1 在 x
1)
0和 1 处没有定义,故 0 和 1 是
f ( x)
e 2x
x( x
1
的间断点,且
1)
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是仅有的两个间断点(由于
f ( x)
是一个初等函数,
f ( x)
在它的定义域内都是连续的) ;下
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面分别 0 和 1 的间断点类型:
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lim
e 2x 1
lim 2 x
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x 0 x( x 1) x 0 x(x 1)
lim 2
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e2x 1
x 0 x 1
2
e2x 1 1
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lim
lim
lim
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x 1 x( x 1) x 1 x
x 1 x 1
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2
(e 1)
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从而 x
0 是函数
f ( x)
e2 x
x( x
的可去间断点, x
1)
1是其次类间断点;
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函数
f ( x)
x
ln
| 1 x |
| x |的可去间断点为 ;
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解: f
( x)
x ln
|1 x |
| x |在 x
0和 1
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