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2019 清华大学自主招生
一、选择题
2 2 1 1
1. 设复数 z=cos +isin ，则 2 = （ ）
3 3 1-z 1 z
1 3
(A)0 (B)1 (C) (D)
2 2
2. 设数列 { an} 为等差数列， p,q,k, l 为正整数，则“ p+qk+l ”是“ a p aq ak al ”( ) 条件
(A) 充分不必要 (B) 必要不充分 (C) 充要 (D) 既不充分也不必要
3. 设 A、B 是抛物线 y= x 2 上两点， O 是坐标原点，若 OA⊥OB,则 ( )
(A)|OA| ·|OB| ≥2 (B)|OA|+|OB| ≥2 2
2
(C) 直线 AB过抛物线 y= x 焦点 (D)O 到直线 AB 的距离小于等于 1
x y
4. 设函数 f (x) 的定义域为 (-1,1) ，且满足：① f (x) 0,x ∈(-1,0) ；② f (x) + f ( y) = f ( ) ，x、y ∈
1 xy
(-1,1) ，则 f (x) 为
(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 减函数 (D) 有界函数
5. 如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f(x) 相切于两点，则 F(x)= f (x) - kx 有（ ）
(A)2 个极大值点 (B)3 个极大值点 (C)2 个极小值点 (D)3 个极小值点
6. △ABC的三边分别为 a 、b、c ．若 c=2 ，∠ C= ，且 sinC+sin(B - A) - 2sin2A=0, 则有（ ）
3
2 3 2 3
(A)b=2 a (B) △ABC的周长为 2+2 3 (C) △ABC的面积为 (D) △ABC的外接圆半径为
3 3
7. 设函数 f (x ) (x2 3)ex ，则（ ）
(A) f (x) 有极小值，但无最小值 (B) f (x) 有极大值，但无最大值
6 6
(C) 若方程 f (x) =b 恰有一个实根，则 b 3 (D) 若方程 f (x ) =b 恰有三个不同实根，则 0b 3
e e
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