高二数学无穷等比数列的各项和.docxVIP

高二数学无穷等比数列的各项和 高二数学无穷等比数列的各项和 7.8（1）无穷等比数列的各项和（1） 一、教学内容分析 本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n 项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣． 本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题． 二、教学目标设计 1．理解无穷等比数列的各项和的定义； 2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和； 3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别； 4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 三、教学重点及难点 教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义. 四、教学用具准备 实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、复习引入 思考下列问题： 1、0.9和1哪个数大？为什么？ 2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和. 对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果. 引导学生回答以下问题： （1）如果你认为0.9 (n -1)个0 0.9=0.99???9???=0.9+0.09+???+0.00???09+??? (n -1)个0 1 0.09，???，0.00???09，???是首项为0.9，公比为的无穷等比数列，它的前n 项和为 而0.9， ??1?n ?0.9?1- ??(n -1)个 0n ??10???1?S n =0.9+0.09+???+0.00???09==1- ?. 1?10?1-10 于是可以把0.9看作S n 当n →∞时的极限，从而 ??1?n ??1? 0.9=lim S n =lim ?1- ??=lim 1-lim ?=1. n →∞n →∞ ??10???n →∞n →∞?10??? 对于问题2，同样进行分析. 对比以上两个问题，它们有何共同特征？ 二、讲授新课 1、无穷等比数列的各项和的公式的推导 提问：在问题1的讨论中，我们将0.9看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限. 请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？ 指出：当无穷等比数列的公比q 满足|q | a 1(1-q n ) a a ∵ S n ==1-1?q n （|q | 1-q 1-q 1-q a 1(1-q n ) a ∴ lim S n =lim =lim 1?lim (1-q n ) n →∞n →∞n →∞1-q n →∞1-q (lim 1-lim q n ) =1. 1-q n →∞n →∞1-q ∴ lim S n = 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式． 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0 提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下． 我们把|q | 各项和，并用符号S 表示. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0 分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限. 2(n -1)个0 ?? 解：（1）0.29=0.29+0.0029+???+0.00???029+??? 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以 1-0.0199 （2）3.431=3.4+0.031+0.00031+0.0000031+???， 等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以 3.431=3.4+ 0.031431427