2021年高数典型例题.docx

精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 第一章 函数及其图形 例 1： （ ）. A. {x | x3} B. {x | x-2} C. {x |-2 x ≤1} D. {x | x ≤ 1} 留意，单项题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项挑选题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的学问点，都采纳直接法； 例 2：函数 的定义域为（ ）. 解：由于对数函数 lnx 的定义域为 x0，同时由分母不能为零知 lnx ≠0，即 x≠1；由根式内要非负可知 即要有 x0，x≠1 与 同时成立，从而其定义域为 ，即应选 C； 例 3： 以下各组函数中，表示相同函数的是（ ） 解： A 中的两个函数是不同的，由于两函数的对应关系不同，当 |x|1 时，两函数取得不同的值； B 中的函数是相同的；由于 对一切实数 x 都成立，故应选 B； C 中的两个函数是不同的；由于 的定义域为 x≠-1 ，而 y=x 的定义域为（ - ∞， +∞）；D 中的两个函数也是不同的，由于它们的定义域依次为（ - ∞， 0）∪（ 0，+∞）和（ 0， +∞）； 例 4： 设 解：在 令 t=cosx-1 ，得 又由于 -1 ≤cosx≤ 1，所以有 -2 ≤cosx-1 ≤0，即-2 ≤t ≤0，从而有 ； 例 5： 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 f(2) 没有定义； 留意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中；例 6： 函数 是（ ）； A．偶函数 B ．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（ A）不正确；由函数在 x=0，1，2 点处的值分别为 0，1，4/5 ，可知函数也不是单调函数；该函数明显也不是一个 周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数； 事实上， 对任意的 x，由 ，可得 ，从而有 ；可见，对于任意的 x， 有 ； 因此，所给函数是有界的，即应挑选 B； 例 7： 如函数 f(x) 满意 f(x+y)=f(x)+f(y), 就 f(x) 是（ ）； A．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定 解：由于 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，可知 f(0)=0 ；在 f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x) 所以有 f(-x) = - f(x) ，即 f(x) 为奇函数，故应选 A ； 例 8 ： 函数 的反函数是（ ）； A． B． D． 解： 于是， 是所给函数的反函数，即应选 C； 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 例 9 ： 以下函数能复合成一个函数的是（ ）； B． C． D． 解：在 (A)，(B) 中，均有 u=g(x) ≤0，不在 f (u) 的定义域内，不能复合；在 (D)中， u=g(x)=3 也不满意 f(u) 的定义域 ，也不能复合；只有 (C)中 的定义域内，可以复合成一个函数，故应选 C； 例 10 ： 函数 可以看成哪些简洁函数复合而成： 解： ，三个简洁函数复合而成； 其次章 极限与连续 例 1： 以下数列中，收敛的数列是（ ） B. C. D. 解：（ A）中数列为 0，1，0，1，??其下标为奇数的项均为 0，而下标为偶数的项均为 1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的； 由于 ，故（ B）中数列发散； 由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近于一个确定的值，因而（ C）中数列也发散； 由于 ，故（ D）中数列收敛； 例 2： 设 ，就 a=( ) A.0 B.1 C.3 D.1/3 解：假设 =0，就所给极限为 ，其分子趋于∞，而分母趋于有限值 3，所以极限为∞，不是 1/5 ，因而 ≠0； 当 ≠ 0 时，所给极限为 ，故应选 C； 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 一般地，假如有理函数 ，其中 ， 分别为 n 的 k 次，l 次多项式，那么， 当 时， 当 k=l 时， f (n) 的极限为 ， 的最高次项的系数之比； 当 kl 时， f (n) 当 kl 时， f (n) 的极限为零； 的极限为∞； 对于当 x→∞（或 +∞，－∞）时 x 的有理分式函数 的极限，也有类似的结果； 例 3. A. 0 B. 1 C. π D. n 解 利用重要极限 ，故应选 C； 注：第一重要极限 的本质是 ，这里的 可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个 填入的内容要相同）； 类似地， 其次重要极限 可以看作是 ，其