初中数学知识点028 矩形、菱形、正方形和梯形a真题及答案.docx

1CD 1 CD 一、选择题 1. （2016 山东东营，10，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF， 分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2 ．其中正确的结论有 【答案】B 【逐步提示】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义 等． 【详细解答】解：分析如下： 结论 ① 正误 √ 分析 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠EAF=∠ACB．又 ∵BE⊥AC，垂足为 F，∴∠AFE=∠ABC=90°， eq \o\ac(△,∴)AEF∽△CAB，故 ①正确 ② √  同(1)可 eq \o\ac(△,证)AEF∽△CBF，∴  AF AE ? CF BC  ．又∵点 E 是 AD 的中点， ∴BC=AD=2AE，∴  AF CF  ?  AE 1 ? BC 2  ，所以 CF=2AF. 故②正确 √ X 过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形 BMDE 是平行四边形，∴BM=DE= BC，∴BM=CM，∴CN=NF．∵BE⊥AC 2 于点 F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③正确 ∵tan∠CAD= ，而 CD 与 AD 的大小不知道，∴tan∠CAD 的值无法 AD 判断，故④错误 综上所述，①②③正确，而无法判断④正确，故选 B． 【解后反思】【一题多解】③取 BC 的中点 M，连接 DM，FM，∴FM=CM．∵E 是 AD 的中点，∴DE=BM，又 ∵DE∥BM，∴四边形 BMDE 是平行四边形，∴DM∥BE，∴DM⊥CF，∴DM 是线段 CF 的垂直平分线，∴DF=DC． 【关键词】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义 2. （ 2016 山东泰安，23，3 分）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，BC＝8，BD 的垂直平分线交 AD 于点 E， 交 BC 于点 F，则△BOF 的面积为 ． ?BCD22＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴ ?BOF? ??BOF2?菱形ABCD22 ?BCD 2 2 ＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴ ?BOF ? ? ?BOF 2 ? 菱形 ABCD 2 2 A E D O B  F  C 第 23 题图 【逐步提示】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是相似三角形面积比等 于相似比的平方的性质的应用．与因为已知 AB＝6，BC＝8，所以可以求出△BDC 的面积，因为 EF 垂直平分 BD， 可知∠BOF＝90°，所以△BOF 与△BCD 相似．利用勾股定理可以求出 BD 的长，也就知道了 OB 的长度，根据 相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△BOF 的面积． 【详细解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝6，∠C＝90°，∵BC＝8，∴由勾股定理得 BD＝ 6 2 ＋8 2 ＝10 ， S  1 1 ＝ ?6 ?8＝24 ，∵EF 垂直平分 BD，∴∠BOF＝90°， OB＝ BD＝5 ．∵∠OBF＝∠DBC，∠BOF＝∠C 2 2 S ?OB ? 5 25 25 75 ＝ ＝ ＝ ，∴ S ＝ ?24＝ ． S ?BC ? 8 64 64 8 ?BCD 1 【解后反思】由于所求的△BOF 是直角三角形，所以有的同学可能直接用 S ＝ ?OB ?OF 来计算三角形的面积， 2 这样解决起来就很繁琐．实际上本题是考查相似三角形的性质：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方．所 以认真审题，理清脉络很关键． 【关键词】矩形的性质；勾股定理；垂直平分线；相似三角形的性质． 3. （ 2016 山东省枣庄市，9，3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB 于 H，则 DH 等于（ ） A． 24 12 B． C．5 D．4 5 5 D  C A  H  B 【答案】A． 【逐步提示】本题考查了菱形的性质，及面积公式，解题的关键是灵活运用菱形的性质．根据菱形对角线互相垂直 且平分，求出菱形的边长，再利用菱形的面积公式即可求出高线 DH． 【详细解答】解：设 AC、BD 交于点 O．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO＝ 1 1 AC＝4，BO＝ DB＝3，∠AOB＝90°， 2 2 ∴AB＝ AO 2 ?BO 2 ＝ 4 2 ?32 ＝5，∵S ＝  1 1 AC ?BD ?8 ?6 24 AC2DB＝AB2DH，∴DH＝ ＝ ＝