23、算子法整理--7页 文字版.pdfVIP

浅谈二阶常系数线性非齐次方程的算子解法 朱晔 2018 年4 月8 日 摘要 二阶常系数线性非齐次方程的齐次通解相信学过高数的同学都能够熟练地运用解特征方程的方法 得到；而市面上大部分的高数书针对非齐次特解的解法，主要采用了待定系数法。这类求解方法容易 记住固定的形式，但往往也有计算量大的弊端。 本文将主要讨论二阶常系数线性非齐次方程的算子解法，相比于待定系数法而言，求解特解时更 快捷而灵活。考虑到阅读本文的同学中可能有知识点欠缺，我主要针对几种常见特解结构，给出所用 到的解决方法，恕不给出详细的证明。 1 微分算子简说 算子是一个函数空间到函数空间上的映射 O：X→X, 常见的算子有微分算子，梯度算子，散 度算子，拉普拉斯算子，哈密顿算子等。 在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子，最常用的微分算子是取导数自身。这 d 个算子的常用记号包括 与 。除去我们所熟系的求导运算符外，另一记号 所表示的微分算 d 子是由奥利弗·亥维赛在研究微分方程时所引入。 对于一个二阶常系数线性非齐次方程： ′′ ′ ( ) 、均为常数 d d d 若引入 约定算子为求导，逆算子 为积分，则原微分方程 d d d 可化简为： 特解可表示为： 可见，引入微分算子 可将微分方程转换为普通代数方程。尽管这个方法从严格意义上来说缺乏 严谨性，但其准确性仍可为我们解决相应的特解问题提供更加便利与快捷的方式。 1 2 不同非齐次项所对应的不同求解方法 在二阶常系数线性非齐次方程中，非齐次项的不同对于所要运用的算子求解方法也不同。常 见的非齐次项主要分为指数函数、正 (余) 弦函数、多项式、指数函数与正(余) 弦函数的乘积、指 数函数与多项式的乘积、(一次) 多项式与正 (余) 弦函数的乘积等。 下面我将介绍以上所列举的情况对应的求解方法，并结合相应的例题加深理解与掌握。 2.1 指数函数 的形式 对于非齐次项 为指数函数 的形式: 1° 若 ̸ ,