8、三个数学定理谈分析（SCIbird整理）--43页 文字版 好.pdf

★ 献给《喜欢数学的女孩》蓝明月 Class 三个数学定理谈分析方法 （针对大二、大三在校生） ′ f = f ϕ| det ϕ | ∫ϕ(E ) ∫E ∞ ϕ (x) Φ(x) =∑ nk k=1 M nk π(x) lim =1 x→∞ x / ln x SCIbird 整理 三个数学定理谈分析方法 几十年前的老一辈数学家们写了不少经典的小册子，篇幅就几十页，谈不 上面面俱到，很多地方都没说。但是读完小册子之后，给人印象极深，我想一 个重要原因是前辈们能抓住核心问题，直击要害，篇幅不多，基本都是大招儿。 考虑到考研、推研进行中，我从自己整理的数学笔记中挑选了三个证明，整理 出这本小册子。目的在于通过一些经典定理展现分析中的经典方法，为读者将 来的研究生学习做点抛砖引玉之事。这本小册子的读者定位主要是在校的大二、 大三学弟学妹们，其他人也可以做为分析学习参考。 分析给人感觉碎片化严重，方法很多，眼花缭乱。但就个人来看，最主要 的方法是三大类，即逼近、变换和分解。如果说是一种，那就是逼近了。本书 收集了三个定理的证明，应该可以比较充分的体现了逼近、变换和分解这三大 分析基本方法（在笔者看来，这些方法长得很分析）和思想。需要指出的是， 本书涉及定理证明中那些基本方法比定理本身更具学习价值。 为区别于当下多如牛毛的分析教材，这里选择了三个比较“大”的数学定 理。我将这三个定理命名为缘起、追梦、跨界。 缘起指我与北大张筑生老师的《数学分析新讲》有缘，这是我看过的第一 本数学分析教材，也是我向 N 多人首推的分析入门书。我之所以知道《新讲》 是因为一个定理，即重积分变量代换定理 ′ f = f ϕ| det ϕ | ∫ϕ(E ) ∫E 那时候是大一下学期，纯属好奇，想找到上面定理的一般性证明。 当时自己用的教材上有 2 维情形的近似证明，使用的是网格划分方法，不过 这个证明方法不能推广到一般情形。我知道我想要的证明应该在数学分析教材 上找，但我不知道哪本书上有。数学分析教材种类非常多，我就一个一个找， 还真找到了！当时，在两本书上找到我想要的证明，南开黄玉民和李成章合写 的《数学分析》以及北大张筑生老师的《数学分析新讲》。我清晰记得，那天自 己在书店忽然看到有本书的作者是张筑生，这个人我听说过，著名奥数教练， 水平很高的。我当时翻到的书恰好是第二册，随手一翻，发现最后面有一般的 重积分变量代换公式证明，这正是我想要的。当时只买了《新讲》第二册，而 第一册和第三册是很久之后才买的。个人感觉，南开那本书证明一般的重积分 变量代换定理写得有些晦涩，不如 《新讲》给出的证明易懂。 追梦指前苏联数学大师柯尔莫哥洛夫的少年成名之作： L[0 , 2π] 中几乎处处无界发散的Fourier 级数反例。 证明选自汪林等编著的《实分析中的反例》一书，陈建功的《三角级数论》下 册也收录进这个反例。暗指少年壮志，想做出一番成就。仅凭上面这个数学反 例，就足以在数学史上留名了，何况这个数学工作是柯尔莫哥洛夫大三时做出 来的