排队论之简单排队系统设计.docx

无限源的简单排队系统 所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。 M / M /1/ 排队系统 M / M /1/ 排队系统是单服务台等待制排队模型 , 可描述为：假设顾客以 Poisson 过 程（具有速率 ）到达单服务员服务台， 即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量， 具有均值 1 ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离 开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变 量，具有均值 。两个 M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布， 1 指 的是系统中只有一个服务台， 指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立 的。 为分析之， 我们首先确定极限概率 pn， n 0,1, 2, ? ? ? ，为此，假定有无穷多房间，标号 为 0,1, 2, ? ? ? ，并假设我们指导某人进入房间 n （当有 n 个顾客在系统中） ，则其状态转移框图如图 5.8 所示。 0 1 2 n n 1 图 5.8 M / M /1/ 排队系统状态转移速率框图 由此，我们有 状态 离开速率＝进入速率 0 p0 p1 n, n 1 pn pn 1 pn 1 解方程组，容易得到 i pi p0， i  0,1,2, ? ? ? 再根据  1 pn n 1  n p0 ( ) p0 n 0 1 得到： p0 1 ， np ( ) n (1 ), n 1 n 令 / ，则 称为系统的交通强度（ traffic intensity ）。值得注意的是这里要求 1，因为若 1 ，则 pn 0 ，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因 此对大多数单服务排队系统，我们都假定 1 。 于是，在统计平衡的条件下（ 1），平均队长为 L jp j j 0 , 1, 1 （ 5-52 ） 由于 a ，根据式（ 5-2 ）、（ 5-3 ）以及上式，可得： 平均逗留时间为：  W L 1 , 1  （5-53 ） 平均等待时间为： 1 WQ W E[ S] W , 1 ( ) (1 ) （ 5-54 ） 平均等待队长为： LQ WQ 2 2 , 1 ( ) 1  （ 5-55 ） 另外，根据队长分布易知， 0 1 也是系统空闲的概率， 而 正是系统繁忙的概率。显然， 越大，系统越繁忙。 队 长 N (t) 由 0 变成 1 的时刻忙期即开始，此后 N (t ) 第一次又变回 0 时忙期就结束。 由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明，闲期的期望值为 1 ，令忙期平均长度为 b ， 则在统计平衡下， 有：平均忙期： 平均闲期＝  ：(1 ) ， 因此平均忙期长度为：  1 ， 1 b ， 1  （5-56 ） 一个忙期中所服务的平均顾客数为 1 ， 1 b 1 ， 1  （ 5-57 ） 不难看出， 在忙期相继输出的间隔时间是独立、 同参数 ( 0) 的随机变量， 即为参数 的 Poisson 流。但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服务完毕离去时之间的间隔时间显然不与服务时间同分布。 下面简要推导一下 M / M /1/ 排队系统的输出过程特征。 令 Tn 于是，对 t 表示第 n 个顾客服务完毕的离去时刻，则 0 ， Tn 1 Tn 表示离去的间隔时间， n 1， P{ Tn 1 Tn t} P{ Nn 0} P{Tn 1 Tn t | Nn 0} P{ Nn 1} P{Tn 1 Tn t | N n 1} P{ Nn 0} P{ ?n 1 Sn ! t } P{ Nn 1} P{ Sn 1 t}, 其 中 ?n 1 表示剩余到达间隔时间，与 Sn 1 （服务时间间隔）独立，而 Nn 表示第 n 个离 去顾客服务完毕离开系统时的队长。由于  lim n  P{ Nn 0}  1 ， 1, 0， 1, 而 P{ ? S t} ＝ e t e t （根据两独立随机变量和的分布计算公 n 1 n ! 式计算），所以 P{ T T t} (1 ) e t e t e t （ 5-58 ） n 1 n 此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数 ( 0) 的负指数分布。 例 5.5 某通信团维修站， 有 1 个维修技师， 每天工作 10 小时。待维修的到来服从 Poisson 分布，每天平均有 90 部到来，维修时间服从指数分布，平均速率为 10 部/小时。试求 排队等待维修的平均数；等待维修的多于 2 部的概