一次函数应用型问题的解题分析.docVIP

PAGE 2 识图中寻找出路 画图中体现应用 ——一次函数应用型问题的解题分析 近些年函数应用型问题成为考试的热点，生活中的很多问题通过建立函数模型可以很好的解决.本文通过实例谈谈一次函数图象题的解决策略及考点分析. 例1 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)，两车之间的距离为(km)，图中的折线表示与之间的函数关系. 根据图象进行以下探究. 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为 km； (2)请解释图中点的实际意义； (3)求慢车和快车的速度; (4)求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围; 图 1 问题解决 (5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 详析(1)从图象我们可知表示的是两车之间的距离.当两车还没行驶时两车之间的距离是900千米，因此，甲乙两地之间的距离为900 k m. (2)两车相向而行共同行驶了4小时，两车之间的距离是0，说明两车已经相遇.因此，处的实际意义是:在处两车相遇. (3)由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为(km/h).当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为(km/h)，所以快车的速度为150km/h. 所以，快车的速度是150km/h，慢车的速度是75km/h. (4)根据题意，快车行驶900 k m，到达乙地，所以快车行驶(h)到达乙地，此时两车之间的距离为(km )，所以点的坐标为. 设线段所表示的与之间的函数关系式为，，将，代入， 得， 解得，. 所以，的表达式是. 自变量的取值范围是. (5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4. 5 h.把代入，得.此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是l 12.5 km，所以两列快车出发的间隔时间是(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0. 75h. 评析 这是南京2008年中考试题的最后一题.这道试题的出现应该是新课程实施以来，非常具有划时代意义的一道一次函数应用问题.试题的信息大部分要通过学生阅认图象来获得.对学生的阅读能力(从数学的角度来说，就是识图能力)要求比较高，如果能够通过对图象的分析理解图中点的实际意义，就能够比较容易的解决这个问题.根据纵坐标的含义(表示两车之间的距离)，点的意义不难理解，表示开始出发时两车相距900 km;点的坐标为表示两车行驶了4小时，两车相距0 km，也就是说此时两车相遇了，根据这一点信息，就可以知道两车的速度和;点的意义有难度，点是一个转折点，相遇之后两车的距离变化关系在点处发生转折，为什么会出现这种情况?深入分析图象，结合点的意义:12小时的时候两车又相距900km，说明两车都到了目的地，然而快车应该比慢车提前到目的地，再加上线段变平缓了说明点向后两车之间的距离变化变慢了，这些信息都在说明点表示快车已经到达了目的地.有了以上对图像的分析，整个运切过程的思路就清晰了. 这道试题很好的一个评价功能就是:考查学生的核心素养中所提及的关键能力——阅读能力.阅读能力是最基础、最关键的学习能力，它直接决定着学生学习效果的好坏和学习效率的高低.从数学学科而言，阅读不仅包括文字的阅读，还包括图象的阅读，图象的阅读要建立在函数意义的理解上，读图的能力直接影响着学生数形结合思想的意一识. 从2008年以后这样的试题如雨后春笋，在各地的中考试题中频频出现，继续扮演着考查学生函数应用的角色. 例2 小华观察钟面(图l)，了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了探究方便，他将分针与分针起始位置(图2)的夹角记为;时针与的夹角记为度(夹角是指不大于平面的角)，旋转时间记为分钟.观察结束后，利用获得的数据绘制成图象(图3)，并求出与的函数关系式:. 请你完成: (1)求出图3中，与的函数关系式; (2)直接写出两点的坐标，并解释这两点的实际意义; (3)若小华继续观察一个小时，请你在图3中补全图象. 解析 (1)设与的函数关系式为. ∵图象经过，两点， ∴，解得. ∴. (2) ，或写成，.表示分针与时针第一次重合，表示时针与的夹角、分针与的夹角相等. (3)如图4. 评析 这是2011年淮安市中考第27题，该问题的