二次函数角度面积最值问题.docVIP

巧用“交轨法”、“铅垂高法”求点的坐标 我们知道，求点的坐标往往需要构造方程(组)来完成，而构造方程(组)则常常需要用到“铅垂高”所在的直角三角形中的三边关系，或是利用某点是两条曲线的交点，从而将他们的解析式联立组成方程(组).本文以相关中考题为例，说明如何用“交轨法”或“铅垂高法”解决此类问题. 例1 (2019年河南)如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线经过点. (1)求抛物线的解析式; (2)点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点. 当是直角三角形时，求点的坐标. 分析 (1)易得抛物线的解析式为 (2)设点的横坐标为. 如图2，当时、，由“铅垂高法”，可得 . 而， 又， ∴. 可得， 即， 从而求出的值. 注 当然，这里也可以直接得到P的纵坐标为，代如抛物线求解得到的值. 如图3，当时，过点作于点，可以用“铅垂高“来表示，则有 . 而， 又， ∴. 可得，即. 从而求出的值. 注 这里也可以用“交轨法”来求解，可以利用与垂直，求出的解析式，再将的解析式与抛物线的解析式组成方程组，从而求出的值。 例2 (2018年河南)如图4，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线经过点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点的直线交直线于点.当时，过抛物线上一动点(不与点重合)，作直线的平行线交直线于点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标. 分析 (1)可求抛物线的解析式为 . (2)可以利用“平行线间的距离处处相等”来解决. 如图5，过点作的平行线，得到平行线与抛物线的交点，也就是所求的点，这里可以得到这条平行线的解析式为，从而可以看出，这条平行线是由直线：向上平移4个单位得到. 同样，可以将直线：向下平移4个单位得到另一条平行线，从而得到直线与抛物线的另两个交点，.然后利用“交轨法”，将直线与抛物线联立组成方程组，从而求出点的坐标. 注 题(2)也可利用“铅垂高法”求解. 如图6，，从而得到 . 而、、则属于铅垂高，设点的横坐标为，则 ， ， 从而求出点的坐标. 例3 (2017年河南)如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点. (1)求点的坐标和抛物线的解析式. (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点.点在线段上运动，若以为顶点的三角形与相似，求点的坐标. 分析 (1)略. (2)如图8，当时，可以用铅垂高表示，可以用来表示，再利用，即可列出方程求解(也可以将的纵坐标2代入抛物线解析式求解). 如图9，当时，过点作于点，可以用铅垂高表示，可以用来表示，利用，即可列出方程求解(也可利用垂直，从而求出的解析式，再利用“交轨法”求解)。 综上，我们可以看出，求点的坐标问题可转化为求解和“铅垂高”相关的方程或是相关曲线解析式的联立方程组，从而快速找到解题的方法。