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专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题
一、解答题
.【省市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点. 过点且斜率不为 0 的直线与椭圆交于两点 .
( Ⅰ )求椭圆的标准方程;
( Ⅱ )证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标 .
【答案】(1 )( 2 )
【解析】试题分析: ( Ⅰ )设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭
圆的方程;( Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设 x 轴上的定点为,
可得,由定值可得需满足
可得
,由定值可得需满足
标。
解得。
∴ 椭圆的标准方程为 .
( Ⅱ )证明:
由题意设直线的方程为,
由消去 y 整理得
,
设,,
要使其为定值,需满足 ,
解得 .
故定点的坐标为 .
点睛:解析几何中定点问题的常见解法
假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;
从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.
.【省市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k 的直线 l 经过点 1,0 与抛物线
C : y2
2 px ( p
0, p 为常数)交于不同的两点
M , N ,当
1
k 时,弦 MN 的长为 4 15 .
2
( 1 )求抛物线 C 的标准方程;
( 2 )过点 M 的直线交抛物线于另一点 Q ,且直线 MQ 经过点
定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由 .
B 1, 1
,判断直线 NQ 是否过定点?若过
【答案】(1 )
y2 4 x ;( 2 )直线 NQ 过定点 1, 4
【解析】试题分析: ( 1 )根据弦长公式即可求出答案;
2 2 2 2
( 2 )由( 1 )可设 M t
,2 t
, N t1
,2 t1
,Q t2
,2 t2
,则 kMN
,
t t1
则 MN
: 2x t t1 y
2tt1 0 ;
同理:
MQ : 2x t t2 y
2tt 2 0
NQ : 2x t1 t2 y 2t1t2 0 .
1
由 1,0 在直线 MN 上
t ( 1 );
t1
由 1, 1 在直线 MQ 上
2 t t2
2tt 2
0 将( 1 )代入
t1t2
2 t1 t 2
1 ( 2 )
将( 2 )代入 NQ 方程
2x t1
t2 y
4 t1 t2
2 0 ,即可得出直线 NQ 过定点.
2 2 2
2t 2t1 2
( 2 )设 M t
,2 t , N t1 ,2 t1 , Q t2
,2 t 2
,则 k MN = 2 2 ,
t t t t
则 MN : y 2t 2 x t 2 即 2x t t y
1 1
2tt 0 ;
t t1
同理: MQ : 2x t t2 y
1 1
2tt 2 0 ;
NQ : 2x t1
t2 y
2t1t2 0 .
由 1,0 在直线 MN 上
由 1, 1 在直线 MQ 上
tt1
2
1,即
t t2
t
2tt 2
1
(1 );
t1
0 将( 1 )代入
t1t2
2 t1 t 2
1 ( 2 )
2将( 2 )代入 NQ 方程
2
2x t1
t2 y
4 t1 t2
0 ,易得直线 NQ 过定点 1, 4
.【省市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】 已知抛物线
C : y
mx m
0 过点 1, 2 , P
2
是 C 上一点,斜率为 1的直线 l 交 C 于不同两点
( 1 )求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标;
A, B ( l 不过 P 点),且 PAB 的重心的纵坐标为 .
3
( 2 )记直线
PA, PB 的斜率分别为
k1, k2 ,求 k1
k2 的值 .
【答案】(1 )方程为
y2 4x ; 其焦点坐标为 1,0 (2 ) k
k2 0
1【解析】试题分析 ;(1 )将 1, 2 代入 y2 mx ,得 m
1
2
,可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标;
2 2
( 2 )设直线 l 的方程为 y x b ,将它代入 y
4x 得 x (2 b 2) x b 0 ,利用韦达定理,结合
斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 2 ,化简可
3
k1 k2 的值;
因为 PAB 的重心的纵坐标为 2 ,
3
所以 y1
y2 yp
2 ,所以 yp
2 ,所以 xp 1 ,
y12y22y1
y1
2
y2
2
y1
2
x2
1
y2
2
x1
1
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