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《代数学》辅导纲要 代数运算与自然数 主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A→B的单映射σ的定义为：设，就推出，则称为从A到B的单映射。 2、由A→B的满映射σ的定义为：设，则称为从A到B的满映射。 3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：②：. 7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：;②： 8、自然数ab的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为ab或ba. 9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N. 10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。 11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为。 12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：。 13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。 14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。 15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。 16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与有关的映射 17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(,)与代数系统(R,+)是同构的，其中表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(,)到(R,+)的一一映射，例如lgx就可以证明上述论述。 19、令为正有理数集合，若规定 ， 则： （1）{,}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{,}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，则满足结合律。 只需证明等式（）c=成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,都成立，假设命题对n=k成立，令，利用证之成立 不等式 主要内容： 1、一些初等不等式的证明 2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明 3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用 4、凸函数的性质与应用 重点掌握： 1、等号成立的条件为： 2、柯西不等式等号成立的条件为： 3、f(x)为上凸函数的定义为：对任意的有:,其中，则称f(x)为上凸函数。 4、f(x)=（x0），g(x)=sin x（0x），k(x)=㏑x 中，上凸函数为：f(x)=，g(x)=sin x, k(x)=㏑（x） 5、f(x)=（其中x0），则当0k1时，f(x)为下凸函数。 6、y=lg x则y是上凸函数 . 7、函数（其中0x）和=㏑x为上凸函数，=（其中，k1）为下凸函数。 8、 9、不等式（）（++……），其中0，i=1，2，……n成立。 可利用柯西不等式证之成立 10、若abc0且a+b+c=1，则2abc存在极大值，为；若已知a×b×c=1，则2a+b+4c存在极小值，为6。 利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc极大值为，2a+b+4c的极小值为6. 11、若x0,y0,z0且满足9+12+5=9 ,则3x+6y+5z存在极大值，为9。 利用柯西不等式易知3x+6y+5z的极大值为9，其中。 12、若x0,y0,z0且满足3++=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：。 利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为，其中。 13、若x0,y0,z0且满足3+4+5=20 ，则9x+16y+7z存在极大值，为：。 利用柯西不等式易知9x+16y+7z的极大值为，其中。 14、若x0,y0,z0。且满足2+3+4=10，则5x+6y+7z存在极大值，为：。 利用柯西不等式易知5x+6y+7z的极大值为，其中。 15、若x0,y0,z0。且满足+2+3=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：。 利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为，其中。 16、若x0,y0,z0，且满足2+3+4=10，则3x+4y+5z存在极大值，为。 利用柯西不等式易知3x+4y+5z的极大值为，其中。 17、不等式 ++…+成立，其中++…+=1 ,, i=