专题10 三角形-2021年初升高数学无忧衔接（苏教版2019）(解析版).docxVIP

PAGE 1 专题10 三角形 专题 专题综述课程要求 初中对三角形的研究比较多，但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时，结合三角函数，可以更好的去解三角形。 课程要求 课程要求 《初中课程要求》 1、了解三角形的基本概念及其性质； 2、全等三角的相关概念； 3、相似三角形的相关概念； 4、直角三角形的相关概念。 《高中课程要求》 三角恒等变换； 解三角形。 知识精讲 知识精讲 高中知识储备：三角形 高中知识储备：三角形 备：绝对值 三角形的”“四心”： = 1 \* GB3 ①重心：三角形三边中线的交点； = 2 \* GB3 ②垂心：三角形三边高的交点； = 3 \* GB3 ③内心：内切圆圆心，到三边距离相等，三角形三条角平分线交点； = 4 \* GB3 ④外心：外接圆圆心，到三个顶点距离相等，三角形三条边的垂直平分线交点。 2.含120°角的等腰三角形：三边之比为1 3.边长为a的等边三角形：高为边长的32倍，即32a 典例剖析 典例剖析 例题1．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】 （1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证； （2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可 【详解】 （1）四边形是矩形 因为折叠，则 是等腰三角形 （2）四边形是矩形 , 设，则 因为折叠，则，, 在中 即 解得： 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 变式训练 变式训练 1.如图，连接四边形的对角线，已知． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）△ ACD是直角三角形；（2） 【分析】 （1）利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形即可；（2）计算出△ABC和△ACD的面积，再求和即可． 【详解】 解：（1）∵ ∠ B=90°，∠ BAC=30°，BC=1， ∴ AC=2BC=2， 又CD=2，， ∴ AC2+CD2=8，AD2=8， ∴ AC2+CD2=AD2， ∴ △ ACD是直角三角形． （2）∵ AC=2，BC=1， ∴ ， ∴ S四边形ABCD= =． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理，含30°角的直角三角形的性质，正确得出AC的长是解题关键． 能力提升 能力提升 1.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可； 【详解】 （1）证明：∵，∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形，， ∴，． ∵，∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴． 【点睛】 本题主要考查了菱形的判定与性质，结合勾股定理计算是解题的关键． 对点精练 对点精练 1．如图，已知四边形是矩形，点在上，，点在上，且与交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设BM=CD=a，DN=CM=b，利用勾股定理分别表示出DM与BN的值即可解答． 【详解】 解：设BM=CD=a，DN=CM=b， ∴BC=a+b，NC=a-b， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， 在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得， ， ， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示出所求边． 2．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或 【答案】D 【分析】 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可． 【详解】 解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ， ∵AC=6，AB=14， ∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8， ∴BQ=8， ∴8÷a=8÷2， 解得a=2； 当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，． ∵AC=6，AB=14， ∴BQ=6，AP=BP