专题10圆（解析版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）.docx

PAGE 1 专题10圆 专题 专题综述课程要求 平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破. 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点. 常用的结论包括： 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 课程要求 课程要求 《初中课程要求》 1、圆的基本性质 2、垂径定理 3、点与圆的位置关系 4、点、直线与圆的位置关系 5、正多边形与圆、弧长、扇形面积 《高中课程要求》 1、握圆的标准方程与一般方程 2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 知识精讲 知识精讲 高中必备知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，. 如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 高中必备知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 典例剖析 典例剖析 高中必备知识点1：直线与圆的位置关系 【典型例题】 在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）． （1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系； （2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标． 【答案】（1）见解析，点D在⊙P上；（2）E（0，﹣3）． 【解析】 （1）如图所示： △ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上； （2）连接PD， ∵直线DE与⊙P相切， ∴PD⊥PE， 利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0）， 设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b， ∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0）， ∴?2k+b=?2?6k+b=0 解得：k=?1 ∴直线DE解析式为：y＝﹣12 ∴x＝0时，y＝﹣3， ∴E（0，﹣3）． 【变式训练】 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1） ①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是　 　； ②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　； （2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D． ①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求