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PAGE PAGE 91 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？(　　A　) (1)Q=Q→P (2)Q=P→Q (3)P=P→Q (4)P(PQ)=P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐PQ)→(Q→R) (2)P→(Q→Q) (3)(PQ)→P (4)P→(PQ) 答：（2），（3），（4） 可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=PQ (4)P(P→Q)=Q (5) (P→Q)=P (6) P(PQ)=P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)?B(y，x))? ?z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。　 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。　 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“?换成存在?，?换成?”，然后将命题的结论否定，“且变或 或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1)　只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3)　当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） （注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的） （2） （3） （4） 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y)　　(　　)　　(2) ?x?y(x+y=y)　　(　　) (3) ?x?y(x+y=x) 　(　　)　　(4) ?x?y(y=2x)　　 (　　) 答：（1） F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2） F （同理） （3）F （同理） （4）T（对任一整数x存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的） 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数　　(2) 实数　　 (3) 复数　　(4) (1)--(3)均成立 答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式　(2) 永假式　(3) 可满足式　(4) (1)--(3)均有可能 答：（2）（这个记住就行了） 13、公式(PQ)(PQ)化简为（ ），公式 Q(P(PQ))可化简为（ ）。 答：P ，QP（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握） 14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))Q(x)中量词?x的辖域是（ ）。 答：P(x)? ?yR(y)（一对括号就是一个辖域） 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。 答：?x(R(x)Q(x))