大学概率统计总复习资料.docVIP

概率论部分 古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率. 解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝ 样本空间的样本点总数： =5005 事件B包含的样本点： =240，则 P(B)=240/5005=0.048 例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 解：考虑次序.基本事件总数为：=5040，设B={能排成一个四位偶数} 。 若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有4=224个。 因此=2296/5040=0.456 概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB) 解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(A－B)= P(A)－P(AB)=0.2，P(AB)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，，， 解：P(A－B)=0.1，P(AB)=0.8，==3/7，==4/7，==2/3 准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。 由全概率公式得 ； 由贝叶斯公式 。 4．随机变量及其分布 (1)一维离散型 例：随机变量的分布律为. 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 确定参数k 求概率P(0X3)，P(1X3) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数的分布律及期望 解：由 ，有 k＋2 k＋3 k＋4 k =1 得 k =0.1 P(0X3)= P(X=1)＋P(X=2)=0.3，P(1X3)= P(X=2)=0.2 =3，=10，D(X)==1 Y 0 1 4 P 0.3 0.6 0.1 =1 (2) 一维连续型 例：已知随机变量的概率密度为， 确定参数k 求概率P(1X3) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数的密度函数及期望 解：由 =1，有 ==1，得 k=3/8 P(1X3)===7/8. ==3/2，==12/5 D(X)==3/20 === (3) 二维离散型 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y X 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 2 0.02 0.05 0.1 0.13 求概率P(XY)， P(X=Y) 求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律 解：P(XY)=0.7， P(X=Y)=0.2 X的分布律 X 0 1 2 p 0.5 0.2 0.3 Y的分布律 Y 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.3 0.4 X的条件分布律 X|Y=2 0 1 2 p 1/2 1/6 1/3 Y的条件分布律 Y|X=1 0 1 2 3 p 0.15 0.25 0.25 0.35 =0.8，=1.4，D(X)==0.76 =2，=5，D(Y)==1 =1.64，cov(X,Y)==0.04 ==0.046 相关 Z=X＋Y的分布律 Z 0 1 2 3 4 5 p 0.05 0.13 0.22 0.3 0.17 0.13 W=max{X，Y}的分布律 W 0 1 2 3 p 0.05 0.18 0.37 0.4 V=min{X，Y}的分布律 V 0 1 2 p 0.55