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任意四边形、 梯形与相似模型
模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系 ( “蝴蝶定理” ) ：
D
A S1
S4
S2
O
S3
B C
① S : S S : S 或者 S S S S
1 2 4 3 1 3 2 4
② AO : OC S S : S S
1 2 4 3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1 】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形 ，被对角线 分成四个部分， △
ABCD AC、BD
面积为 1 平方千米， △ 面积为 2 平方千米 ，△ 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是
AOB BOC COD
6 ．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A D
【分析】根 据蝴蝶定理求得 S 3 1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5 平
△ AOD
方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG : GC ？
A D
1
2 3
G
B
C
【解析】⑴ 根据蝴蝶定理， S 1 2 3 ，那么 S 6 ；
V BGC V BGC
⑵根据蝴蝶定理， AG : GC 1 2 : 3 6 1: 3 ． (？？？ )
【例 2 】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的
1
面积的 ，且 AO 2 ， DO 3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _________ 倍。
3
D D
A A
G
H
O O
B C B
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