导数中两种零点问题解决方法.pdfVIP

导数中的零点问题解决方法 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合 题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下 移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 a g (x) 例 1.已知函数 f (x)  x  , g (x)  ln x ，若关于x 的方程 2  f (x)  2e 只有一个实 x x 数根，求 a 的值。 g (x) ln x 2 ln x 2 解析：  f (x)  2e  a   x  2ex ，令h(x)   x  2ex ， 2 x x x 1 ln x h (x)   2x  2e ，令h (x)  0 ，则x  e 2 x 当 0  x  e 时， h (x)  0 ，h(x) 单调递增；当 x  e 时， h (x)  0 ，h(x) 单调递 1 2 减， h(x)  h(e)   e max e 注意这里 h(x) 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h (x) 的式子很复杂，但是 ln x 2 如果把 h(x) 当成两个函数的和，即 m(x)  , n(x)  x  2ex ，此时m(x), n(x) 的 x 单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h(x) 的单调性和极值点。 1 2 所以 a   e （注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） e 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函 数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x) 在区间 (0,1) 上有零 点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调， 只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着 f (x) 在区间 (0,1) 上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的 是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说 明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势 图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。 3 2 例 2.已知函数 f (x)  ax  3x  1 ，若f (x) 存在唯一的零点 x0