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导数中的不等式证明
导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题,由于不等式证明的灵活性,多样性,该考点也备
受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
5
命题角度 函数凹凸性的应用
【典例 10 】(20 18 届合肥三模)已知函数 2 有零点x ,x ,函数 2 有
f x x x a 2 g x x a 1 x 2
1 2
零点x ,x x x x x a
3 4 ,且 3 1 4 2 ,则实数 的取值范围是
9 9
A. ,2 B. , 0
4 4
C. 2, 0 D. 1,
解析:思路1:因为g x f x a 1x ,如图所示,
结合函数图象,则g x f x a 1x a 1x 0 ,
1 1 1 1
g x f x a 1x a 1x 0 ,
2 2 2 2
若a 0 ,则x 1 ,不适合题意,则a 0 ;当a 0 时,x 1 x ,所以f 1 a2 0 ,即a 2 ,
1 1 2
a
所以实数 的取值范围是2, 0 .正确答案为C.
【评注】同理,g x f x a 1x 0 a 1x ,g x f x a 1x 0 a 1x ,所以x 1 x ,
3 4
3 3 3 3 4 4 4 4
故g 1 a2 0 ,即a 2 ,所以实数 的取值范围是 2, 0 .
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