山东财经大学2015-2016学年第1学期《线性代数》A期末考试试题及答案.doc

第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 3 页 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 3 页 山东财经大学2015—2016学年 ASK 第1学期期末试题 学 号线性代数试卷(A) 学 号 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 签字 学 院班 级 姓 名注意事项：所有答案都必须写在答题纸上，答在试卷上一律无效. 学 院 班 级 姓 名 一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分） 1.各行所有元素之和均为0的行列式的值为0.（ ） 2.任一阶可逆矩阵均与单位矩阵等价.（ ） 3.个维向量必线性相关.（ ） 4.若，则齐次线性方程组必有非零解.（ ） 5.若，则对任意常数，有.（ ） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1.若，则________. 2.若，则________. 3.齐次线性方程组的基础解系中含________个解向量. 4.若，，则________. 5.二次型的秩为________. 三、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1.行列式的值是（ ）. （A） （B） （C） （D） 2.设阶矩阵满足，则必有（ ）. （A） （B） （C） （D） 3.若向量组线性相关，则必有（ ）. （A）中任意两个向量均成比例 （B）中任一部分向量组线性相关 （C）中含有零向量 （D）中至少有一向量可由其余向量线性表出 4.齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）. （A）的列向量组线性相关 （B）的列向量组线性无关 （C）的行向量组线性相关 （D）的行向量组线性无关 5.与矩阵相似的矩阵是（ ）. （A） （B） （C） （D） 四、计算题（本题共5小题，满分50分） 1.（本题满分5分）设行列式，求，其中为元素的代数余子式，. 2.（本题满分10分）设矩阵，为的伴随矩阵，且，求. 3.（本题满分10分）设向量组，， ，，求为何值时，线性相关？此时，求的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出. 4.（本题满分10分）解线性方程组，其中为待定参数（若有无穷多解，要写出通解）. 5.（本题满分15分）利用正交替换将二次型 化为标准形. 五、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 1.求证：，其中为的伴随矩阵. 2.求证：若维单位向量组可由向量组线性表出，则线性无关. 山东财经大学2015-2016学年第一学期期末试题 线性代数 试卷 (A)参考答案与评分标准 一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分） 1．√ 2．√ 3．× 4．√ 5．√ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1. 2. 1 3. 4. 0 5. 3 三、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 四、计算题（本题共5小题，满分50分） 1.（本题满分5分） ………………5分（转化2分，计算3分） 注：逐个计算（4分），再加和（1分）亦可. 2.（本题满分10分） （5分）（10分）. 3.（本题满分10分） (阶梯形). ………3分 当时，线性相关. …………5分 此时，(行简化阶梯形). ………7分 （8分）；极大无关组为（9分）；（10分）. 4.（本题满分10分） (阶梯形). ………2分 （1）当，时，无解. ………3分 （2）当时，有惟一解. ………4分 此时，(行简化阶梯形). 因此，解为. ………5分 （3）当，时，有无穷多解. ……………6分 此时，(行简化阶梯形). 一般解为. 特解：. ……………7分 导出组的一般解为. 基础解系：，. ……………9分 因此，通解为. ……………10分 5.（本题满分15分） 二次型的矩阵为. …………1分 计算特征值和特征向量： . 的特征值为（二重），. …………3分 对（二重），解线性方程组，得基础解系：. …5分 对，解线性方程组，得基础解系：. …………6分 正交化：，. ………8分 单位化：，，. ………11分 （3）令， …………12分 则为正交矩阵，且. …………13分 作正交替换（14分），则可将原二次型化为标准形.（15分） 五、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 1.过程略. 证第一个结论2分，证第二个结论3分. 2.过程略. 与等价，