有限单元理论报告试卷.docVIP

有限单元理论报告 姓名 学号 1 证明最小位能原理与弹性力学位移解法的等价性（20分）。 2 详细说明有限单元法的一般思想和具体步骤，如有必要，可结合实例（20分）。 3 说明总体刚度矩阵[K]的性质并给予证明（10分）。 4 Su条件加载至有限元方程[K][a]=[P]中采用两种方法：消去法和大数法，试说明这两种方法的基本过程及二者的区别。（10分） 5 说明应力磨平的具体过程，以及应力磨平的意义。（10分） 6 当我们采用软件进行有限元计算时，有哪些具体措施可保证计算结果可靠性。（10分） 7 谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。 报告要求 1 绝对不允许以任何形式拷贝讲义或他人试卷，如有雷同卷子（包括个别题的雷同），一律按不及格处理（评阅教师具有试卷雷同认定权）； 2 本试卷页作为报告的扉页，与报告内容采用A4纸张侧边装订； 3 不符合要求的报告按不及格处理（评阅教师具有不符合要求报告的认定权）。 1.证明最小位能原理与弹性力学位移解法的等价性 答：由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。 虚位移原理： 因为，所以有 因为? ? ? 所以，虚位移原理 所以： 于是： . 结论：平面应力弹性力学模型→微分法建立的数学模型→位移解法微分模型 → 总结： 我们证明了两种描述方式是等价的。也就是说从弹性力学位移解法上说我们是要求解满足用位移法中的2个平衡方程，以及应力边界条件和位移边界条件；从能量法上说我们是要求解所有满足位移边界条件的位移函数中的使位能泛函取极值的极值位移宗量。两种提法是等价的。 可以证明：上述求得的位移解（弹性体的实际位移）代入位能泛函使得位能取最小值（该极值是极小值并是最小值），所以该（位移）能量法又称最小位能原理。 后面的位移有限单元法其思想就是先对位能泛函做离散近似，然后再变分求得位移解，因为我们现对位能泛函做了离散近似，所以得到的相应的位移解是离散近似位移解。 2.详细说明有限单元法的一般思想和具体步骤，如有必要，可结合实例 答：首先说明下什么是有限元法，在对力学问题分析求解过程中，方法可以概括为两种方法，一种为解析法，二为数值法，有限元就是其中一种方法。是一种高效能、常用的数值计算方法。 先说有限元的一般思想： 将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，并且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或及其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量（也即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。 简单点来讲，其实就是先化整为零，即离散化整体结构，把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体；再积零为整，通过结点的平衡来建立代数方程组，最后计算出结果。 简化为三个步骤 ◎建立起有限元的插值函数，将场函数表示成单元结点的插值形式； ◎利用数值积分计算出单元的泛函或弱形式积分； ◎通过单元集成形成以节点场函数为未知量的代数方程组，求解该代数方程组即得求解域场函数的近似解。 接下来说具体步骤： 在我看来，解有限元需要分为四个大步骤。总体可用一个流程图表示 有限元法 ↓ 将复杂的整体结构分解为一系列单元 ↓ 对标准的单元进行处理 ↓ 将处理后的单元进行组装 ↓ 数值求解 将复杂的整体结构分解为一系列单元（离散化） 在解决解决平面问题时，主要单元类型包括三角形单元，四边形单元等选用不同的单元会有不同的精度，划分的单元数越多，精度越高，但计算量也会越大，这时候就需要将复杂的整体结构分解为一系列单元（单元相互联结，但不重叠。同时，不同厚度，不同材料不能划分在同一单元）。同时，将一个单元上的所有未知量用结点位移表示，并将分布在单元上的外力等效到结点上。即给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系，并表示节点的位置坐标，列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值