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平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2 ．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 单位向量 i、j 作为基 底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y 使得 a ＝xi ＋yj，则把有序数对 (x ，y)叫做向量 a 的坐标．记作 a ＝(x，y)，此式 叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中， i＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3 ．平面向量的坐标运算 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2 ，y2) ，则 a＋b＝(x1＋x2 ，y1 ＋y2) ， 向量的 a －b＝(x －x ，y －y ) ．即两个向量和 (差) 的坐标分别等于 1 2 1 2 加、减法 这两个向量相应坐标的和 (差) 实 数 与 向 量 若 a＝(x ，y)， λ∈R，则 λa＝( λx， λy)，即实数与向量的积的 的积 坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 已 知 向 量 AB 的 起 点 A(x1 ， y1) ， 终 点 B(x2 ， y2) ， 则 向量的 ＝(x －x ，y －y )，即向量的坐标等于表示此向量的有 AB 2 1 2 1 坐标 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4 ．两个向量共线的坐标表示 1 1 2 2 1 2 2 1 设 a ＝(x ，y )，b＝(x ，y )，其中 b≠0.则 a∥b? a ＝ λb? x y －x y ＝0. [小问题 ·大思维 ] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0，即 a＝(x,0)；与 y 轴平行的向 量的横坐标为 0，即 b＝(0，y) ． 2 ．已知向量 OM ＝(－1，－2) ，M 点的坐标与 OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同； OM ＝(－1，－2) ，而 M(－1，－2) ． 3 ．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一 对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一， 以这对实数为坐标的向量有无穷多个， 这些向量都是相 等向量． 4 ．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量 在平移前后，其坐标不变． x1 y1 5．已知 a ＝(x ，y )，b＝(x ，y )，若 a ∥b，是否有 ＝ 成立？ 1 1 2 2 x2 y2 x1 y1 1 2 2 1 提示： 不一定．由于 ＝ 的意义与 x y －x y ＝0 的意义不同，前者不 x2 y2 允许 x2 和 y2 为零，而后者允许，当 x1＝x2 ＝0，或 y1＝y2 ＝0 或