数学-高中必修五-解三角形-经典题目.pdf

解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 【典型题剖析】 考察点 1：利用正弦定理解三角形 例 1 在 V ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3, 求 a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正 弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 Q A : B : C 1: 2 : 3,而A B C . 解： A , B ,C , 6 3 2 1 3 a :b : sin A :sin B :sin C sin : sin :sin : :1 1: 3 :2. 6 3 2 2 2 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例 2 在 ABC 中，已知 c= 2 + 6 ，C=30 °，求 a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 a b c 2 6 解：∵ C=30 °， c= 2 + 6 ，∴由正弦定理得： , sin A sin B sin C sin 30 ∴ a=2( 2 + 6 )sinA,b=2( 2 + 6 )sinB=2( 2 + 6 )sin （150°-A ） . ∴a+b=2( 2 + 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2 + 6 ) ·2sin75 °· cos(75 °-A)= 2 2 6 cos(75 °-A) 2 ① 当 75 °-A=0 °，即 A=75°时， a+b 取得最大值 2 6 =8+4 3 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜ 150°，∴ 0 °＜A＜ 150°, ∴-75 °＜ 75 °-A ＜75°，∴ cos75 °＜cos(75 °-A) ≤ 1， 2 2 6 2 ∴＞ 2 6 cos75 °= 2 6 × = 2 + 6 . 4 综合①②可得 a+b 的取值范围为 ( 2 + 6 ,8+4 3 考察点 2 ：利用正弦定理判断三角形形状 例 3 2 2 在△ ABC中， a ·tanB= b ·tanA ，判断三角形 ABC的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ ABC的形状。 解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得： 2 sin B 2 sin A 2R sin A ? 2R sin B ? , cosB cosA sin A cos A sin B co