数列中裂项求和的几种常见模型.pdf

数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识 的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求 和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式 法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加 法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现 频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型， 以供参考。 模型一：数列 { a } d 0,a 0(n 1,2,3, ) ，则 n 是以 d 为公差的等差数列，且 n 1 1 1 1 ( ) a a d a a n n 1 n n 1 例 1 已知二次函数 y f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f (x ) 6x 2 ，数列 { a } 的前 n 项和为 S ，点 (n, S )(n N ) 均在函数 y f (x) 的 n n n 图像上。 （Ⅰ）求数列{ an } 的通项公式； 1 m （Ⅱ）设 b ，T 是数列 { b } 的前 n 项和， 求使得 T 对所有 n n n n a a 20 n n 1 n N 都 成 立 的 最 小 正 整 数 m ； （2006 年湖北省数学高考理科试题） 2 解： （Ⅰ）设这二次函数 f(x) ＝ax +bx (a ≠0) , 则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x －2, 得 2 a=3 , b= －2, 所以 f(x) ＝3x －2x. 2 ( , )( ) 又因为点 n Sn n N 均在函数 y f ( x) 的图像上，所以 Sn ＝3n －2n. 2 3 1) 2 2( 1) 当 n≥2 时， an ＝Sn －Sn －1 ＝（3n －2n ）－ （n n ＝6n－5. 2 n N 当 n＝1 时，a1＝S1 ＝3×1 －2 ＝6×1－ 5，所以，an ＝6n－5