生活中的优化问题举例.pptVIP

3.4 生活中的优化问题举例(一) 复习：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 , 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？ 问题1:面积、体积问题 于是宽为 当 时， 0；当 时， 0. 因此，x=16是S(x)函数的极小值点，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 令 ，解得 舍去）。 表面积 设半径为R,则高为h 表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题 问题2:利润问题饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 规格（L） 2 1.25 0.6 价格（元） 5.1 4.5 2.5 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子 制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料, 可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm. 例2: １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ r (0，2) 2 (2，6] f (r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p 解：∵每个瓶的容积为: ∴每瓶饮料的利润： 解：设每瓶饮料的利润为y，则 r (0，2) 2 (2，6] f (r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ ∵f (r)在(2，6]上只有一个极值点 ∴由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值 -1.07p 例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：设每瓶饮料的利润为y，则 ∵当r∈(0，2)时， 而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小. 例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息? 回顾总结: 1.利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 作业 P37 A 组 5, 6