斯卡定理,帕普斯定理的证明技巧.docx

用面积法证明Poscal定理的方法与技巧 [帕斯卡定理]如图，用一条6-闭折线依次连接圆上的六个点A、B、C、D、E、F,其中 ABC]DE=G. BCC]EF = H, CDf]FA=l ,则G、H、/三点共线。 ［证 1］首先，连接G/,设G/ClBC=H, G/nEF = H; 图(I) 图⑵ 顺次连接圆上的6个相邻点，得到圆的接凸六边形AEBQFC; GH 连接G、，与圆周上的六点A、B、C\ ZX E、F ,设紛=』’= HI ，2=濱耳 ，2=濱耳，从而A= 、（JEF GH H，ITIT GH HM 二 Xgbc %皿 S”时‘祯砰 Sag” S\心=S \gb( Sag” S\心=S \gb( Sbc S^gef S/j廿? S渺c Sgft： = BG BC S^be S冲 S 塞￡. Fl FC BG?BC FI FE CI CF EG?EB _次凡.巻【0?次M?诚 FI-FC BGBE EG?EF CI CB _ XQ 诚?或 0?蚀 f 2 . 5-GH H I . DnGH GH 可知，- = i.即這帀?兩=1，即万产万7。 由于H. H都是线段G/上的点，可知H、H同向分线段G/的比相等, 故H. H为同一点（重合），从而证明了 G、H. 1三点共线。 A ［总结】对圆上的6点，过每两点作直线，共可得m = = 条不同的直线；这些直线中每 两条有一个交点（含平行线的交点在无穷远处，以及多条直线交于一点的情形），可得 〃=C% = 105个交点（如果重合的交点只计一次，至多A = 3C：+6 = 51个不同交点。因为 圆上4点所确定的6条直线，其交点有丨点在圆，有2点在圆外，有4点在圆上）. 从不在圆上的45个点中任意取一点，都能得到一条过该点以及另外两个点的两条帕 斯卡线，共可得至多2C；/3 = 3O条帕斯卡线。  ［帕斯卡定理的更多证明方法如下］ E 11 ［帕普斯定理］ X B DE D E