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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2007年上半年 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2007年上半年 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2007年上半年 高等数学(工本)真题2007年上半年一、单项选择题问题:1. 函数的定义域是A.{(x，y)|2＜x2+y2＜3}B.{(x，y)|4＜x2+y2＜9}C.{(x，y)|4＜x2+y2≤9}D.{(x，y)|2A.取得极大值为0B.取得极小值为0C.连续D.间断答案:C问题:3. 设积分区域D：x2+y2≤3，则二重积分=A.-9πB.-3πC.3πD.9π答案:A问题:4. 微分方程y-2y+3y=5e2x的一个特解为 答案:B问题:5. 设无穷级数收敛，则A.P＞1B.P＜3C.P＞2D.P＜2答案:D二、填空题问题:1. 已知向量α={k，2，-1}和β={2，-1，-1}垂直，则常数k=______．答案:问题:2. 设函数=______．答案:问题:3. 设二次积分，则交换积分次序后得I=______．答案:问题:4. 微分方程的通解为______．答案:问题:5. 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π)上表达式为  则f(x)的傅里叶级数的和函数在x=0处的值为______． 答案:三、计算题问题:1. 设平面π经过点P1(4，2，1)和P2(-2，-3，4)，且平行于y轴，求平面π的方程．答案:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0∵点P1和P2在平面上 ∵平面平行于y轴∴{A，B，C}⊥{0，1，0}即B=0 ③联立①②③得 所以所求平面方程为x+2z-6=0已知平面π：2x+y+z=3和直线L：2. 写出直线L的对称式方程；答案:L的方向向量为点(-2，0，3)在直线L上所以直线L的对称式方程为 3. 求平面π与直线L的交点．答案:解得L与π的交点坐标为(1，-1，2)问题:4. 求椭球面x2+2y2+z2=4在点(1，-1，1)处的切平面方程和法线方程．答案:设F(x，y，z)=x2+2y2+z2-4 所以所求切平面方程为2(x-1)-4(y+1)+2(z-1)=0即x-2y+z-4=0 所求法线方程为问题:5. 已知方程x2+y2-4y+z2=3确定函数z=z(x，y)，求．答案:从而问题:6. 设积分区域D是由坐标轴及直线x+y=1所围成，求二重积分．答案: 问题:7. 设积分区域Ω由上半球面及平面z=0所围成，求三重积分．答案:问题:8. 设L为折线OAB，其中O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分．答案:问题:9. 设∑为坐标面及平面x=1，y=1，z=1所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分．答案:设Ω：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1由高斯公式得 问题:10. 求微分方程的通解．答案:两边积分有lnlny=lnx+lnC所以通解为 y=eCx问题:11. 求微分方程的通解．答案:∵P(x)=2 Q(x)=ex 问题:12. 判断无穷级数的敛散性．答案:由正项级数比值审敛法 ∴原级数收敛问题:13. 求幂级数的收敛半径和收敛域．答案:因为所以收敛半径R=1由|x-3|＜1 得2＜x＜4 所以收敛区间为(2，4)又因为当x=2时，级数收敛当x=4时，级数收敛所以收敛域为[2，4]四、综合题问题:1. 求函数f(x，y)=4(x-y)-x2-2y2的极值．答案:∴得驻点坐标为(2，-1) 而△=B2-AC=-8＜0 且A=-2＜0∴f(x，y)在点(2，-1)处取得极大值为f(2，-1)=6问题:2. 验证在整个oxy平面内 (4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-)dy  是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)． 答案:令P(x，y)=4x3y3-3y2+5Q(x，y)=3x4y2-6xy-4因为 在oxy平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数u(x，y)的全微分，且可取 问题:3. 将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数．答案: