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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2011年04月 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2011年04月 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)真题2011年04月 高等数学(工本)真题2011年04月一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．)问题:1. 已知a={-1，1，-2}，b={1，2，3}，则a×b=A.{-7，-1，3}B.{7，-1，-3}C.{-7，1，3}D.{7，1，-3}答案:D问题:2. 极限 A．等于0 B．等于  C．等于3 D．不存在 答案:C[解析] ，令3(x2+y2)=u，则当x→0，y→0时，u→0，故.问题:3. 设∑是球面x2+y2+z2=4的外侧，则对坐标的曲面积分A.-2B.0C.2D.4π答案:B问题:4. 微分方程是A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程答案:A[解析] ，该形式符合齐次微分方程的定义，故选A.问题:5. 无穷级数的前三项和S3= 答案:B二、填空题问题:1. 已知向量a={2，2，-1}，则与a反方向的单位向量是______．答案:问题:2. 设函数，则f(1-x，1+x)=______．答案:-x[解析] .问题:3. 设积分区域D：x2+y2≤2，则二重积分在极坐标中的二次积分为______．答案:问题:4. 微分方程y″+y=2ex的一个特解是y*=______．答案:ex[解析] 与原微分方程对应的齐次方程为y″+y=0，该齐次方程的特征方程为r2+1=0，解得r=±i，所以λ=1不是对应的齐次方程的特征根，故设特解为y*=Aex，则y*′=Aex，y*″=Aex，将其代入原方程得Aex+Aex=2ex，解得A=1，所以原方程的一个特解为y*=ex．问题:5. 设f(x)是周期为2π的函数，f(x)在[-π，π)上的表达式为S(x)为f(x)的傅里叶级数的和函数，则S(0)=______．答案:[解析] 由狄里克雷收敛准则可知．三、计算题问题:1. 求过点P(-1，2，-3)，并且与直线x=3+t，y=t，z=1-t垂直的平面方程．答案:解：∵平面的法向量为{1，1，-1} ∴所求平面方程为1·(x+1)+1·(y-2)+(-1)(z+3)=0  即x+y-z-4=0． 问题:2. 设函数，求全微分.答案:解：∵ ∴  . 问题:3. 设函数z=f(cos(xy)，2x-y)，其中f(u，v)具有连续偏导数，求和．答案:解：设u=cos(xy)，v=2x-y 问题:4. 已知方程exy-2z+x2-y2+ez=1确定函数z=z(x，y)，求和．答案:解：设F(x，y，z)=exy-2z+x2-y2+ez-1 ∵Fx=yexy+2x，Fy=xexy-2y，Fz=-2+ez  ∴. 问题:5. 设函数z=ex(x2+2xy)，求梯度gradf(x，y)．答案:解：∵ ∴. 问题:6. 计算二重积分，其中积分区域D是由直线y=x，x=1及x轴所围成的区域．答案:解： . 问题:7. 计算三重积分，其中积分区域Ω是由x2+y2=a2，z=0及z=2所围成的区域．答案:解： . 问题:8. 计算对弧长的曲线积分，其中C是抛物线y=x2上由点A(0，0)到点B(2，4)的一段弧．答案:解： . 问题:9. 验证对坐标的曲线积分与路径无关，并计算.答案:解：令P(x，y)=x+y，Q(x，y)=x-y ∵  ∴积分与路径无关  并且. 问题:10. 求微分方程x2y″=2lnx的通解．答案:解：  通解  =-ln2x-2lnx+C1x+C2． 问题:11. 判断无穷级数的敛散性．答案:解：∵un=ln(n+1)-lnn Sn=u1+u2+…+un=ln(n+1)-ln1  而  ∴原级数发散． 问题:12. 将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数．答案:解：∵ ∴  从而. 四、综合题问题:1. 设函数，证明．答案:解：∵  ∴. 问题:2. 求由曲面z=xy，x2+y2=1及z=0所围在第一卦限的立体的体积．答案:解：.问题:3