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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟13 高等数学(工本)自考题模拟13一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)问题:1. 微分方程(y″)4+2(y′)5=x2+x3的阶数是A.5B.4C.3D.2答案:D[解析] 本题考查微分方程的阶．问题:2. y″=sin(-x)的通解为A.sin(-x)B.-sin(-x)+C1x+C2C.-sin(-x)D.sin(-x)+C1x+C2答案:B[解析] 本题考查高阶微分方程的通解．[要点透析] 对方程两边积分得y′=cos(-x)+C1，对方程两边积分得y=-sin(-x)+C1x+C2，即为原方程的通解．问题:3. 微分方程x3y2dx-(2y+xysinx)dy=0是A.可分离变量微分方程B.一阶线性齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.齐次微分方程答案:A[解析] 本题考查区分一阶微分方程的不同形式．问题:4. 下列命题中正确的是 A．若收敛，则必收敛  B．若与都发散，则必发散  C．若，则必发散  D．若收敛，则必有 答案:C[解析] 本题考查数项级数的审敛．[要点透析] 可用排除法，A选项对于交错级数不成立；对于B选项，若，则与都发散，但收敛，故B选项错误；对于D选项，当收敛时，有可能为1，故D选项错误；则选C．问题:5. 幂级数x+2x2+3x3+…+nxn+…的收敛区域为A.[-1，1]B.(-1，1)C.(-1，1]D.[-1，1)答案:B[解析] 本题考查幂级数的收敛区间.[要点透析] 收敛半径=1，又因为当x=1时，幂级数为1+2+3+…+n+…，此时幂级数发散．而当x=-1时，幂级数化为-1+2-3+…+(-1)nn+…：此时幂级数发散，故收敛区域为(-1，1).二、填空题问题:1. 微分方程的通解为______．答案:[解析] 本题考查齐次方程和分离变量．[要点透析] 原方程可化为 令，则y=ux，   故  分离变量积分得，arctanu=lnx+C.将代入处原方程的通解为 问题:2. 方程2y″+y′-y=2x的一个特解是______．答案:y′=-2x-2[解析] 本题考查f(x)=eλxPm(x)型．[要点透析] 方程2y″+y′-y=2x对应的齐次 方程为2y″+y′-y=0．  其特征方程为2λ2+λ-1=0，  解之得λ1=-1，．  原方程的非齐次项f(x)=eλxPm(x)(其中λ=0，m=1)，而λ=0不是其特征方程的解，故令其特解为y*=b0x+b1  则y*′=b0，y*″=0．  代入原方程得b0-(b0x+b1)=2x  故得b0=-2，b1=-2，  于是原微分方程的一个特解为y*=-2x-2． 问题:3. 幂级数的收敛半径为______．答案:1[解析] 本题考查幂级数的收敛半径.[要点透析] 设，则，故收敛半径为1．问题:4. 幂级数e1+x在x=-1处展开式为______．答案:[解析] ex在x=0处的幂级数展开式为，故e1+x在x=-1处的幂级数展开式为e1+x=1+问题:5. 设函数f(x)=x2(-π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为，则其系数a2=______．答案:1[解析] 本题考查傅里叶系数.[要点透析]三、计算题问题:1. 求方程y″-y′-2y=0的通解．答案:[考点点击] 本题考查二阶常系数线性微分方程(有两个不同的特征根).[要点透析] y″-y′-2y=0的特征方程为r2-r-2=0． 故其特征根为r1=2，r2=-1．  故所求通解为y=C1e2x+C2e-x(C1，C2为常数)． 问题:2. 求方程y″+(y′)2=0满足初始条件答案:[考点点击] 本题考查y″=f(y，y′)型微分方程．[要点透析] 令p=y′，则  代入原方程得，  当y≠0且p≠0时，分离变量得，  两边积分得lnp=-y+C1，即p=C1e-y，  将代入上式得， (1)  分离变量得eydy=C1dx  两边积分得ey=C1x+C2， (2)  将初始条件代入(1)和(2)式中得。C1=2，C2=-1，  故所求特解为ey=