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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟2 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟2 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟2 高等数学(工本)自考题模拟2一、单项选择题问题:1. 设向量i+2j+3k与2i+mj+6k垂且，则m=A.4B.-4C.10D.-10答案:D两向量a与b垂直的充要条件是a·b=0由题意知(i+2j+3k)·(2i+mj+6k)=2+2m+18=0 ∴m=-10问题:2. 二重极限为A.1B.∞C.0D.不存在但不为∞答案:D ∴对不同实数k(k≠1)，上述极限不同，于是不存在但不为∞．)问题:3. 已知f(x，y)是连续函数，二重积分的极坐标表示为 答案:B，其中积分区域D如图所示 问题:4. 设L为圆周x2+y2=1，=A.8πB.10πC.12πD.14π答案:C由于被积幽数定义在积分曲线上，因此积分变量x，y满足枳分路线L的方程，利用这一性质化简积分 问题:5. 常数n≠0，则几何级数收敛条件是A.q＜1B.-1＜q＜1C.q≤1D.q＞1答案:B二、填空题问题:1. 设函数，则=______．答案: 问题:2. 设z=f(x6-y6)可微，则=______．答案:6x5f(x6-y6)问题:3. 三重积分=______，其中Ω是球x2+y2+z2≤1．答案:0因为Ω关于平面z对称，为z的奇函数 问题:4. 微分方程y+4y+3y=0的通解为y=______．答案:c1e-x+c2e-3x∵特征方程为r2+4r+3=0∴r1=-3，r2=-1，从而通解为y=c1e-x+c2e-3x问题:5. 幂级数的和函数是______．答案:ln(1+x)令 即s(x)-s(0)= ln(1+x)显然s(0)=0∴s(x)=ln(1+x) 三、计算题问题:1. 已知向量a={1，0，-2}，b={1，1，0}，试求向量c，使c⊥a，c⊥b且|c|=6．答案:设c={x，y，z} 问题:2. 讨论函数在点(0，0)处的连续性．答案:令y=kx2，则 上述极限随k的不同而不同．不存在∴f(x，y)在(0，0)点不连续．问题:3. 求函数u=f(x，y，z)=x2+xy+yz在点(1，0，3)处沿方向角为α=60°，β=45°，r=60°的方向导数．答案: 问题:4. 令z=xy，而x=sint，y=cost，求．答案:问题:5. 求出z=x3+y3-3xy的极值．答案:f(x，y)=x3+y3-3xy∴fx(x，y)=3x2-3y，fy(x，y)=3y2-3xA=fxx=6x，B=fxy=-3，c=fyy=6y令得驻点(1，1)(0，0)关于第一个驻点(1，1)有B2-AC=9-6×6=-27＜0且A＞0因此(x，y)在点(1，1)取得极小值f(1，1)=1+1-3=-1关于第二个驻点(0，0)有B2-AC=9＞0，因此f(x，y)在(0，0)点取不到极值．问题:6. 计算二重积分，其中D：x2+y2≤x+y+1．答案:积分域D如图所示 令  问题:7. 求心形线r=a(1+cosθ)的长度．答案:由于 问题:8. 计算，L是圆周x2+y2=a2沿逆时针方向．答案:据格林公式有问题:9. 计算，∑为柱面x2+y2=1及平面z=0，z=3所围成立体的全表面外侧．答案:P=(y-z)x，Q=0，R=x-y 设封闭曲面所围的空间区域为Ω，利用高斯公式和柱面坐标有 问题:10. 判断正项级数的敛散性.答案:问题:11. 求幂级数的收敛半径和收敛区间．答案:∴级数的收敛半径为对x=2，原级数成为对x=-2，原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛．∴级数的收敛半径为2，收敛区间是[-2．2)问题:12. 求微分方程y+3y+2y=e-x．答案:对应齐次方程的特征方程为r2+3r+2=0∴r1=-2，r2=-1∴齐次方程的通解为y=C1e-2x+C2e-x∵r2=-1是特征方程的单根∴应设特解为y*=Axe-x则 y*=Ae-x-Axe-x，y*=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x，将它们代入原方程得 (-2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x-Axe-x)+2Axe-x=e-x ∴Ae-x=e-x ∴A=1所以原方程的一个特解y*=xe-x于是原方程的通解为y=c1