运筹学第8章：标准服务系统MMn系统.pptx

第八章 标准服务系统M/M/n 系统鱼与熊掌兼得？8.1 M/M/n 损失制 8.1.1 M/M/n 损失制，无限源 (M/M/n: ?/n/FIFO)令从顾客源来的顾客到达率为 ?，每台的服务率为 ?则有 ?j = ?, j=0,1, ... , n–1; ?n=0， ?j = j?, j=0,1, ... , n将?j , ?j 代入生灭方程，得式中 ?=?/? 称为业务量(traffic)，是无量纲量；表示单位时间内要求系统提供的服务时间； ? 和 ? 的单位必须一致；由于纪念Erlang，用爱尔兰作单位 (Erl) 系统的服务质量系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法按时间计算的损失率 pn，即单位时间内服务台全被占用的时间按顾客计算的损失率 B，即单位时间内损失的顾客数与到达顾客数之比在本系统中有 B=pn=En(?)，称为爱尔兰损失公式不是所有系统都有 B=pn 的性质工程上经常是已知 ?，给定 B，求所需最少的服务台 n求 n 一般有三种方法：迭代计算，查图，查表 求所需服务台的方法1、查图，如书上262页2、迭代计算无法由 En(?) 给出 n 的逆函数，因此采用逐次试算的方法注意， En(?) 有较简单的递推公式3、工程上经常采用查表的方法爱尔兰表最左边一列为服务台数 n，最上面一行为服务质量的不同等级，即 B爱尔兰表中元素的值为 ?，表示服务台数为 n，服务质量为 B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用A表示 ? ，A 是加入话务量爱尔兰损失表n=3, B=0.01, 查表得 ?=0.455已知 n 和 ? 如何求 B，线性内插法；例： n=3， ? =2.5，由表可知 B 落在 0.2~0.3 之间，若假设在这区间所承担的业务量与 B 成线性关系，则有线性内插公式B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281例1 M/M/n 损失制无限源系统，已知 n=3，?=5人/小时，平均服务时长30分钟/人，试求：(1)系统中没有顾客的概率；(2)只有一个服务台被占用的概率；(3)系统的损失率解：由题意可知 ?=60/30=2人/小时，所以 ?=?/? =2.5Erl (1) p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)?1=0.108 (2) p1= ? p0=2.5?0.108=0.27 (3) B=E3(2.5)=p0 ?3/3!=0.108 ?2.604=0.28例2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为240，每次通话平均时长为 5 分钟，规定两局间中继线的服务等级为 B? 0.01,问：(1) 应配备多少条中继线？(2)中继线群的利用率为多少？解：中继线群上的加入话务量为 ?=240 ?5/60= 20Erl， (1)查262页图，n=30条； (2)查爱尔兰表可知： n=30，B=0.01时可承担 A=20.337，B=0.005 时可承担 A=19.034，因此， E30(20)=0.005+0.005 ?(20?19.034)/(20.337?19.034)=0.008707 中继线群利用率 ? = ?(1?B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862 服务台利用率与服务台数量的关系 ??n 图当给定 n 和 B 后，系统所能承担的业务量 ? 可以通过爱尔兰公式求出，从而可计算出服务台利用率 ? ；若保持 B 不变，不断增加服务台数 n， ? 也会发生变化，就可以得到??n 图如下；通过观察，有几点结论：1、B不变时， ? 随 n 增加；说明大电路群效率高2、n 不变时， ? 随 B 增加；说明效率与质量是矛盾的；(高效路由)3、? 具有边际递减规律4、? 越大，系统抗过负荷能力越差 系统过负荷特性 ??B 图过负荷是指系统加入的业务量 A?, 超过给定服务质量所能承担的业务量 A过负荷用过载业务量与标准应承担的业务量的比值来表示，即 ? = (A??A)/A = ?A/A En(A) = B,En(A?) = B?由图可见，在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下，大系统的质量劣化严重；说明效率与可靠性是矛盾的例3 某服务部门把顾客分为两组，分别组成两个单独的服务系统。各系统的到达率分别为 ?1 =4人/小时， ?2 =8人/小时，每人的平均占用时长都为 6 分钟；给定损失率为 B ? 0.01 ，试求：(1)分组服务时每组应配备的服务台数；(2)合并为一个服务系统时，各种条件不变，应配备的服务台数；(3)比较两种组织方式的服务台利用率。解：(1) 分组时： ?1=4 ?0.1=0.4Erl, ?2=8 ?0.1=0.8Erl 查爱尔兰表，得 n1=3台， n2=4台，共需 7台。 B1=0.005+0.0