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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟20 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟20 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟20 高等数学(工本)自考题模拟20一、单项选择题问题:1. 已知a={-1，1，-2}，b={1，2，3}，则a×b=A.{-7，-1，3}B.{7，-1，-3}C.{-7，1，3}D.{7，1，-3}答案:D问题:2. 幂级数x+2x2+3x3+…+nxn+…的收敛区域为A.[-1，1]B.(-1，1)C.(-1，1]D.[-1，1)答案:B[解析] 本题考查幂级数的收敛区间.[要点透析] 收敛半径=1，又因为当x=1时，幂级数为1+2+3+…+n+…，此时幂级数发散．而当x=-1时，幂级数化为-1+2-3+…+(-1)nn+…：此时幂级数发散，故收敛区域为(-1，1).问题:3. y″=sin(-x)的通解为A.sin(-x)B.-sin(-x)+C1x+C2C.-sin(-x)D.sin(-x)+C1x+C2答案:B[解析] 本题考查高阶微分方程的通解．[要点透析] 对方程两边积分得y′=cos(-x)+C1，对方程两边积分得y=-sin(-x)+C1x+C2，即为原方程的通解．问题:4. 设L为取逆时针方向的圆周x2+y2=54，则A.54πB.-54πC.108πD.-108π答案:C因为P=xcosx-y，Q=x+ysiny且 做由格林公式得：问题:5. 设∑为球面x2+y2+z2=a2，则对面积的曲面积分=A.πa2B.2πa2C.3πa2D.4πa2答案:D由对面积的曲面积分的定义知的值等于∑的面积．又∑为球面x2+y2+z2=a2，其表面积s=4πa2 二、填空题问题:1. 设函数u(x，y，z)=x2+2xy+z2+2，则gradu(1，0，-1)=______．答案:{2，0，-2}问题:2. 幂级数在其收敛域中的和函数s(x)=______．答案:(x+1)ex问题:3. 微分方程y+6y+9y=0的通解是______．答案:y=(c1+c2x)e-3x齐次方程的特征方程为r2+6r+9=0，∴r1=r2=-3，它只有一个实的二重根r=-3．因此所求通解为y=(c1+c2x)e-3x问题:4. 微分方程x2dy+(3xy-y)dx=0的通解是______．答案:原方程变形为，两端积分得，即问题:5. 微分方程的通解为______．答案:[解析] 本题考查齐次方程和分离变量．[要点透析] 原方程可化为 令，则y=ux，   故  分离变量积分得，arctanu=lnx+C.将代入处原方程的通解为 三、计算题问题:1. 已知可导函数f(x)满足，求函数f(x)．答案:两边对x求导得f(x)=xf(x)即积分得 问题:2. 设函数f(x)满足f″(x)+2f′(x)-3f(x)=2ex，求微分方程的一个特解函数f(x)．答案:此方程是二阶常系数非齐次微分方程，其中f(x)=2ex属于eλxPm(x)型λ=1，m=0)，则该方程所对应的齐次方程的特征方程为r2+2r-3=0，解特征根为r1=-3，r2=1，所以λ=1是对应齐次方程的特征根，且为单根． 故设其特解为f(x)*=b0xex  则f(x)*′=b0ex+b0xex，  f(x)*″=b0ex+b0ex+b0xex=2b0ex+b0xex．  代入微分方程得，  于是原微分方程的一个特解．[考点点击] 主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程． 问题:3. 求幂级数的收敛半径和收敛域．答案:∴收敛半径R=2 ∴收敛域为(-2，2]问题:4. 已知直线L1：和直线L2： (1)求出直线L1的对称式方程；  (2)求直线L1和直线L2的夹角． 答案:(1)直线L1的方向向量为 v1=={-28，14，-7}=-7{4，-2，1}．  令z=1，则方程组变为  解之得x=2，y=-3．  所以点(2，-3，1)在直线上．  故直线L1的对称式方程为   (2)直线L2的法向量为  v2={4，-2，1}．  显然v1∥v2，从而直线L1和直线L2互相平行，  即夹角θ=0．[考点点击] 本题考查直线方程的形式和两直线的夹角． 问题:5. 求由方程2xz-2xyz+ln(xy