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《特殊三角形》期末复习资料 腰 底边 底角 底角 顶角 A B C D 1 2 第一部分：等腰三角形 等腰三角形的性质与判定 1.性质(1)边：等腰三角形的两腰相等。 (2)角：等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中,等边对等角)(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴. (4)重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。(等腰三角形三线合一性质) 2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。(在同一个三角形中,等角对等边) 3.等边三角形: (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形。(2) 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 例1. 等腰三角形两个内角之比为4:1， 求顶角的度数. 说明: 因为等腰三角形的两底角相等,两个内角的比为4:1,尚未指明哪两个角,可能是顶角与底角的比,也可能是底角与顶角的比,所以分两种情况求解. 此类题未说明哪两个角的比,解题时应审清题意,注意分类讨论. 例2. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:1两部分，已知三角形底边长为5，求腰长？ 解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x ∵底边BC＝5 ∴BC＋CD＝5＋x AB＋AD＝3x ∴(5+x)：3x＝2:1 　或3x：(5+x)=2:1 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ x x 2x 5 例3.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。 证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB （在同一个三角形 中等边对等角） ∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°， ∠2+∠ABC=90° （直角三角形两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM （在同一个三角形中等角对等边） 例4.　如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｏ Ｄ 150° ⌒ Ｃ a Ｅ Ｆ Ｈ 3、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角400，则顶角为 度。 1、周长为11，边长为整数的等腰三角形有 个。 2、等腰三角形一个外角为1400，则其顶角为 度。 4、如图AC=BC=BD，AD=DC， 则∠ACB= 度 巩固练习 5、满足下列条件的三角形不一定是等边三角形的是（ ） （A）在△ABC中，AB=BC=AC （B）在△ABC中，∠A=∠B=60° （C）在△ABC中，AB=BC，∠A=60° （D）在△ABC中，∠A=60° D 巩固练习 6、 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角的外角相等；? （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 B 等腰三角形的几种基本图形 1、如图：BF、CF分别是等腰三角形ABC的底角平分线，过交点F的直线DE∥BC交两腰AB、AC于点D、E，若AB+AC=20，则△ADE的周长为 。 角平分线+平行线 等腰三角形 2、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于点E，求证：AB=CE。 角平分线+垂线 等腰三角形 思考三线合一定理的几个逆命题何时是成立的？ 3、如图,在△ABC中,∠ ACB=90°, AE平分∠ CAB,CD ⊥AB于D,它们交于点F, △ CFE是等腰三角形吗?试说明理由. F 直角三角形一个锐角平分线 + 斜边上的高线 等腰三角形 等边三角形的几个基本图形： 1、等边三角形ABC中，只要满足BD=CE，连接AD、BE交于点F。则∠AFE是定值。 2、如图点A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点。说明： △CMN是等