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[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟3 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟3 PAGE1 / NUMPAGES1 [自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟3 高等数学(工本)自考题模拟3一、单项选择题问题:1. 方程代表的图形是A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线答案:B由于x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1，其母线是平行于z轴的圆柱面，而x+z=1表示平行于y轴的平面，显然它们的交线是一个椭圆．问题:2. 函数f(x，y)=x3-3x-y在点(1，0)处A.有极大值B.有极小值C.无极值D.无法判断答案:C，故函数不存在驻点，因而(1，0)不是极值点．问题:3. 更换积分次序后= 答案:A由题意知积分区域如图所示 则先对x积分后对y积分的积分区域为0≤x≤1，x2≤y≤x)问题:4. 记，则A.对任意光滑闭曲线C都有I=0B.对任意不包含原点于其内的光滑闭曲线C都有I=0C.对任意包含原点于其内的光滑闭曲线C都有I=0D.对任意包含原点于其内的光滑闭曲线C都有I＞0答案:B设C是不包含原点于其内的任一光滑闭曲线．由于在不包含原点的任一连通区域内都有连续偏导数，且问题:5. 若级数收敛，则级数A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.可能收敛，也可能发散答案:D例：．又∴若可能收敛，也可能发散．二、填空题问题:1. 设且f为可微函数，则全微分dz=______．答案:　问题:2. 设，则=______．答案:问题:3. 设Ω为：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，则=______．答案:问题:4. 极限=______．答案:0由于，从而收敛 问题:5. 设一阶线性微分方程，已知P(x)，Q(x)是连续函数，则它的通解为______．答案:因为所给的一阶线性微分方程为∴它的通解为三、计算题问题:1. 求过点A0，1，1)，B1，2，0)与x轴平行的平面方程．答案:设所求平面的法向量为n，则又，在x轴上取单位向量i={1，0，0}，则n⊥i，取-k，故所求平面方程为(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0，即y+z-2=0问题:2. 求抛物面z=3x2+4y2在点(0，1，4)处的切平面方程．答案:zx=6x，zy=8y，zx(0，1)=0，zy(0，1)=8故取法向量n={0，8，-1}∴切平面方程为0·(x-0)+8(y-1)-(z-4)=0即8y-z=4问题:3. 设三元函数，求在点A(1，0，1)处沿A指向点B(3，-2，2)方向的方向导数．答案: 问题:4. 求由方程2xz-2xyz+ln(xyz)=0确定的隐函数z=z(x，y)在(1，1)处的微分．答案:令F(x，y，z)=2xz-2xyz+ln(xyz)，则 反x=1，y=1代入原方程求得z=1问题:5. 求二元函数z=x2-xy+y2-2x+y的极值．答案:令得驻点(1，0)此时 问题:6. 计算，其中D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形区域．答案:积分区域如图所示  问题:7. 计算，其中L是x2+y2=4x的上半圆周由A(4，0)至B(0，0)．答案:积分路线如图所示 ∵P=y+2xy Q=x2+x+y2，故积分与路径无关 问题:8. 计算．L：星形线的周长为L．答案:由于被积函数定义在积分曲线上，因此变量x，y满足积分路线L的方程． 问题:9. 计算．答案:为右半球面 问题:10. 求幂级数的和函数．答案:由于∴收敛半径R=1，设在(-1，1)内 问题:11. 判定级数的敛散性．若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．答案:这是一个交错级数，其一般表达式为，其中 由莱布尼茨判别法知原级数收敛． ，而发散，由比较判别法知级数发散．故原级数为条件收敛．问题:12. 求微分方程y-4y=2e2x的通解．答案:特征方程为r2-4=0 ∴r1=2，r2=-2故齐次方程的通解为又λ=2是特征方程的单根，故设原方程的一个特解为 四、综合题问题:1. 设f(x)是以2π为周期的周期函数，它在一个周期[-π，π]上的表达式；记f(x)的傅里叶级数的和函数为S(x)，求S(1)，S(π)．答案:由收敛定理得 (∵x=π是区间[-π,π]的端点)问题:2. 某厂生产两种产品，产量分别为x，y，生产总成本C=800+34x+70y．销售总收入为R=134x+150y-2x2-2xy-y2