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PAGE4 / NUMPAGES6 对数的运算 【学习目标】 1．了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值。 【学习重难点】 1．对数的概念。 2．对数的基本性质。 【学习过程】 预习教材P15－P18的内容，思考以下问题： 1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？ 2．什么是常用对数、自然对数？ 3．对数恒等式是什么？ 4．如何进行对数式和指数式的互化？ 一、对数的概念 （1）在表达式ab=N（a0且a≠1，N∈（0，＋∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数。 （2）当a0且a≠1时，b=logaN的充要条件是ab=N，由此可知，只有N0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数。 （3）loga1=0；logaa=1；alogaN=N；logaab=B． 2．常用对数和自然对数 （1）以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN。 （2）以无理数e（e=2．71828…）为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN。 [名师点拨] logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写。 【自我检测】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）根据对数的定义，因为（－2）4=16，所以log（－2）16=4．（　　） （2）对数式log32与log23的意义一样。（　　） （3）因为1a=1，所以log11=A．（　　） （4）log（－2）（－2）=1．（　　） 2．若log8x=－eq \f(2,3)，则x的值为（　　） A．eq \f(1,4) B．4 C．2 D．eq \f(1,2) 3．2log23=________。 4．若log3（log2x）=0则xeq \s\up6(\f(1,2))=________。 探究一、对数的概念 1．在N=log（5－b）（b－2）中，实数b的取值范围是（　　） A、B2或b5 B．2b5 C．4b5 D．2b5且b≠4 [规律方法] 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a0，且a≠1；由于在指数式中ax=N，而ax0，所以N0. 2．求f（x）=logxeq \f(1－x,1＋x)的定义域。 探究二、对数式与指数式的互化 3．（1）将下列指数式化成对数式： ①54=625；②2－6=eq \f(1,64)；③3a=27；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(m)=5．73． （2）将下列对数式化成指数式并求x的值： ①log64x=－eq \f(2,3)；②logx8=6；③lg100=x。 [规律方法] （1）指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向： （2）要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。 4．如果a=b2（b0，b≠1），则有（　　） A．log2a=b B．log2b=a C．logba=2 D．logb2=a 5．计算：（1）log927；（2）logeq \r(4,3)81；（3）logeq \r(3,54)625． 探究三、对数基本性质的应用 6．求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）=0；（2）log3（lgx）=1． [规律方法] eq \a\vs4\al()logaN=0?N=1；logaN=1?N=a使用频繁，应在理解的基础上牢记。 7．若log2（log3x）=log3（log4y）=log4（log2z）=0，则x＋y＋z的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【达标测评】 1．logbN=a（b0，b≠1，N0）对应的指数式是（　　） A．ab=N B．ba=N C．aN=b D．bN=a 2．若logax=1，则（　　） A．x=1 B．a=1 C．x=a D．x=10 3．已知logx16=2，则x等于（　　） A．±4 B．4 C．256 D．2 4．设10lgx=100，则x的值等于（　　） A．10 B．0.01 C．100 D．1000 【参考答案】 【自我检测】 1．答案：（1）×（2）×（3）×（4）× 2．解析：选A．因为log8x=－eq \f(2,3)， 所以x=8－eq \s\up6(\f(2,3))=2－2=eq \f(1,4)，故选A． 3．解析：由对数恒等式得，2log23=3． 答案：3 4．解析：因为log3（log2x）=0，所以log2