《函数的零点与方程的解》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.doc

《函数的零点与方程的解》 教学设计 教学目标 教学目标 1．结合指数函数和对数函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，体会数学的整体性． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 3．学会运用函数判断方程是否有解． 教学重难点 教学重难点 教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用． 教学难点：函数零点存在定理的导出，函数零点定理的充分不必要性． 课前准备 课前准备 PPT课件，计算器，GGB课件． 教学过程 教学过程 （一）整体感知，明确任务 引导语：在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法． 设计意图：明确本小节将要研究的内容． （二）新知探究 1．函数零点的概念 问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？ 师生活动：学生回忆相关内容作答，教师予以补充完善． 预设的答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，也就是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标． 设计意图：引导学生回忆二次函数与一元二次方程的关系，为得到一般函数零点的概念作铺垫． 问题2：类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 师生活动：学生通过类比，得出答案． 预设的答案：类比二次函数的零点，也可以考虑函数的零点，通过判断函数的图象与x轴是否有公共点，来判断方程是否有实数解． 设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有实数解的讨论，了解利用函数观点研究方程解的必要性． 问题3：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？ 师生活动：学生讨论交流后作答，教师予以补充完善． 预设的答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解．为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义． 定义：对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）． 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与x轴的公共点的横坐标． 设计意图：由具体到抽象，顺其自然地导出一般函数零点的概念，并得到一般方程实数解和一般函数零点的关系． 追问1：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？ 师生活动：学生独立思考，个别提问回答． 预设的答案：根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系： 方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴有公共点． 即对于函数的零点，其代数意义就是的实数解，其几何意义就是函数的图象与x轴的公共点． 设计意图：分别从代数意义和几何意义，使学生进一步理解函数零点的本质． 追问2：函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？ 师生活动：学生讨论交流，个别提问回答，教师予以补充完善． 预设的答案：求方程的实数解，就是确定函数的零点．所以，对于不能用公式求解的方程的实数解问题，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解． 设计意图：强调不能用公式求解的方程，使学生明白，学习函数以及掌握函数观点的重要性，同时也为函数零点存在定理的提出作铺垫． 追问3：这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？ 师生活动：学生讨论交流后得出答案，教师帮助学生总结和提炼． 预设的答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想． 设计意图：使学生体会数学知识的整体性． 2．函数零点存在定理 问题4：要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？ 师生活动：学生讨论交流，教师进行引导． 图1预设的答案： 图1 设计意图：明确研究二次函数零点的方案． 追问1：对于二次函数，观察它的图象（图1），发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x轴有什么关系？函数的取值有什么规律？你能用在区间[2，4]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？ 师生活动：学生观察图象寻找规律，教师进行引导：注意观察在零点附近函数值的正负号变化特点． 预设的答案：在区间[2，4]上的零点附近