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【考查知识点】两点之间线段最短“ ”, 垂线段最短“ ”, 点关于线对称“ ”, 线段的平移“ ”。
原型饮马问题“ ”, 造桥选址问题“ ”。考的较多的还是 饮马问题“ ”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩
形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路
】找点关于线的对称点实现 折“”转 直“”,近两年出现 三折线“ ”转 直“”等变式问题考查。
【典型例题】
【例1】(湖北咸宁第8 题)已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点 A (5,0),OB=4 5 ,
点 P 是对角线 OB 上的一个动点,D (0,1),当 CP+DP 最短时,点 P 的坐标为 ( )
1
6 3 10 5
A. (0,0) B. (1, ) C. ( , ) D. ( , )
2 5 5 7 7
【答案】D.
∴点P 的坐标为( 10 , 5 )
7 7
故选 D.
考点:菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题.
【名师点睛】 本题考查了菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾
股定理,动点问题.关于最短路线问题:在直线L 上的同侧有两个点 A 、B ,在直线L 上有到 A 、B 的距离
之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线 L 的对称点,对称点与另一点的连
线与直线 L 的交点就是所要找的点(注:本题C ,D 位于 OB 的同侧).如下图,解决本题的关键:一是找
出最短路线,二是根据一次函数与方程组的关系,将两直线的解析式联立方程组,求出交点坐标.
【例2】(湖北鄂州第10题)如图,菱形 ABCD 的边AB=8 ,∠B=60 °,P 是 AB 上一点,BP=3 ,Q 是 CD
边上一动点,将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠,A 的对应点为A ′,当 CA ′的长度最小时,CQ 的长为 ( )
A. 5 B. 7 C. 8 D. 13
2
【答案】B.
考点:菱形的性质;轴对称(折叠);等边三角形的判定和性质;最值问题.
【名师点睛】 本题考查了菱形的性质;轴对称(折叠);等边三角形的判定和性质;最值问题.解决
本题的关键是确定使 CA ′的长度最小时点A ′的位置。
【方法归纳】
在平面几何的动态问题中,求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识:
① 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点之间线段最短;
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
④定圆中的所有弦中,直径最长;
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求线段 l 上的一动点 P
到点 A、B 距离和的最小值,先作点 A 关于直线 L 的对称点 A ′,连接 A ′B,则 A ′B 与直线 L 的交点即为 P
点,根据对称性可知 A ′B 的长即为 PA+PB 的最小值,求出A ′B 的值即可.
【针对练习】
1.(广西百色)如图,正△ABC 的边长为 2,过点B 的直线 l⊥AB,且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称,
D 为线段 BC ′上一动点,则AD+CD 的最小值是( )
A.4 B.3 2 C.2 3 D.2+ 3
【答案】C
考点:(1)轴对称-最短路线问题;(2)等边三角形的性质.
1 2 5
2.(广西贵港)如图,抛物线y x2 x 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C.若点P 是线段
1
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