线性规划问题中目标函数常见类型梳理.docx

精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 精品资料欢迎下载线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东张吉林（山东省莱州五中邮编 261423）线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义同学往往懂得的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路纷乱，解答出错；本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到肯定的帮忙；一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）xxyy x0530，就 z2x4 y 的最小值为（例1.已知实数 x， y 满意约束条件）A ． 5B． -6C． 10D ． -101x2z4分析：将目标函数变形可得y，所求的目标函数的最小值即一组平行直线1 xyb 在经过可行域时在y 精品资料 欢迎下载 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 （山东省莱州五中 邮编 261423） 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点， 对于目标函数的含义 同学往往懂得的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路纷乱，解答出错；本文将有 关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到肯定的帮忙； 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） x x y y x 0 5 3 0，就 z 2x 4 y 的最小值为（ 例 1.已知实数 x， y 满意约束条件 ） A ． 5 B． -6 C． 10 D ． -10 1 x 2 z 4 分析：将目标函数变形可得 y ，所求的目标函数的最小值即一组平行直线 1 x y b 在经过可行域时在 y 轴上的截距的最小值的 4 倍； 2 解析：由实数 x， y 满意的约束条件，作可行域如下列图： B y 5 A -5 O 3 x C L 当一组平行直线 经过图中可行域三角形 ABC 区域的点 C 时，在 y 轴上的截距最小， L 又 C(3, 3) ，故 z 2 x 4 y 的最小值为 zmin 2 3 4 ( 3) 6 ，答案选 B； 点评：深刻地懂得目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决此题的关键； 直线的斜率型 二 x2 y2 x 0 4 y x 3 1 例 2.已知实数 x， y 满意不等式组 的值域 . ,求函数 z x2 y 2 解 析 ： 所 给 的 不 等 式 组 表 示 圆 4 的 右 半 圆 ( 含 边 界 ) ， 第 1 页，共 5 页 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 精品资料欢迎下载y-22Ox-2（ -1， -3）yxx231y2P(1, 3) ，斜率为z 的直线族．就问题的几何意义为：z可懂得为过定点求过半圆域最小值． 由图知， 过点 P4( x0) 上任一点与点 P(1,3) 的直线斜率的最大，20((3)1)和点 A(0, 2) 的直线斜率最大，5 ．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设zmax切点为B(a,b) ，就过B 点的切线方程为axby4 ．又B 在半圆周上， P 精品资料 欢迎下载 y -2 2 O x -2 （ -1， -3） y x x2 3 1 y2 P( 1, 3) ，斜率为 z 的直线族．就问题的几何意义为： z 可懂得为过定点 求过半圆 域 最小值． 由图知， 过点 P 4( x 0) 上任一点与点 P( 1, 3) 的直线斜率的最大， 2 0 ( ( 3) 1) 和点 A(0, 2) 的直线斜率最大， 5 ．过点 P 所作半圆的切线的斜率最小． 设 zmax 切点为 B(a,b) ，就过 B 点的切线方程为 ax by 4 ．又 B 在半圆周上， P 在切线上，就有 2 3 6 a a2 a b2 3b 4 4 2 6 3 3 5 解 得 因 此 zm i n ； 综 上 可 知 函 数 的 值 域 为 6 6 b 5 2 6 ,5 3 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） x x y y y 1 1 1 0 0 ，就 2 2 y 例 3. 已知实数 x ，y 满意 w x 4x 4 y 8 的最值为 . x2 y2 ( x 2)2 ( y 2) 2 ，其含义是点 解析：目标函数 w 4x 4 y 8 (2,2)与可行域 内的点的距离的平方；由实数 x， y 所满意的不等式组作可行域如下列图： 第 2 页，共 5 页 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 精品资料欢迎下载y（ 2，2）1A-11OxCB-1x+y-1=0ABC 内部（包括边界） ，易求 B（ -2，-1），结合图形知，点可行域为图中(2,2)到点 B 的距2 2) 22)2 25 ；点离为其到可行域内点的最大值，w(( 1(2,2)到直线 x+y-1=0max| 2221|3 22的距离为其到可行域内点的最小值，w；min四 点到直线的距离型x2y2例