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2010---2011全国各地中考模拟数学试题重组汇编
压轴题
一、解答题
1.(2010年广州中考数学模拟试题一)如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
ABCNPM
A
B
C
N
P
M
O
x
y
x=1
第1题图
答案:(1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵,AO=BO=1,
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM,
∴OM=PN,
∵∠OPC=900,
∴∠OPM+CPN=900,
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM,
∴△OPM≌△PCN.
(2)∵AM=PM=APsin450=,
∴NC=PM=,∴BN=OM=PN=1-;
∴BC=BN-NC=1--=
(3)△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)
②当点C在第四象限,且PB=CB时,
有BN=PN=1-,
∴BC=PB=PN=-m,
∴NC=BN+BC=1-+-m,
由⑵知:NC=PM=,
∴1-+-m=, ∴m=1.
∴PM==,BN=1-=1-,
∴P(,1-).
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或(,1-)
2. (2010年广州中考数学模拟试题(四))关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在直角坐标系中画出函数的草图;
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式;
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.
答案:(1)根据题意得:k2-4=0,
∴k=±2 .
第2题图A1A2B1B2C1
第2题图
A1
A2
B1
B2
C1
D1
C2
D2
x
y
又抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴k=2 .
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2.
函数的草图如图所示:
(2)令-x2+2=0,得x=±.
当0<x<时,A1D1=2x,A1B1=-x2+2
∴l=2(A1B1+A1D1)=-2x2+4x+4.
当x>时,A2D2=2x,A2B2=-(-x2+2)=x2-2,
∴l=2(A2B2+A2D2)=2x2+4x-4.
∴l关于x的函数关系式是:
(3)解法①:当0<x<时,令A1B1=A1D1,得x2+2x-2=0.
解得x=-1-(舍),或x=-1+.
将x=-1+代入l=-2x2+4x+4,得l=8-8,
当x>时,A2B2=A2D2
得x2-2x-2=0,
解得x=1-(舍),或x=1+,
将x=1+代入l=2x2+4x-4,
得l=8+8.
综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+时,正方形的周长为8-8;当x=1+时,正方形的周长为8+8.
解法②:当0<x<时,同“解法①”可得x=-1+,
∴正方形的周长l=4A1D1=8x=8-8 .
当x>时,同“解法①”可得x=1+,
∴正方形的周长l=4A2D2=8x=8+8 .
综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+时,正方形的周长为8-8;当x=1+时,正方形的周长为8+8.
解法③:∵点A在y轴右侧的抛物线上,
∴当x>0时,且点A的坐标为(x,-x2+2).
令AB=AD,则=2x,
∴-x2+2=2x, ①
或-x2+2=-2x, ②
由①解得x=-1-(舍),或x=-1+,
由②解得x=1-(舍),或x=1+.
又l=8x,∴当x=-1+时,l
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