勾股定理的各类题型.docVIP

勾股定理各种题型： 一：勾股定理面积相等法： 方法1： 方法2： 方法3： 二：方程思想和勾股定理结合的题目 1.（2016春?宜春期末）一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（　　） A．米 B．2米 C．10米 D．米 【考点】勾股定理的应用． 【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可． 【解答】解：由题意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2=52，解得x=， 所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D． 【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形． 2.（2016春?防城区期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 【考点】勾股定理；平行线的性质． 【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴∠A=∠1=50°， ∴∠A+∠B=50°+40°=90°， ∴∠C=90°， 设CF=x，则EF=x+1， 根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2， 即32+x2=（x+1）2， 解得：x=4， ∴EF=4+1=5， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 3.（2015春?蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合， ∴BE=ED， 设AE=x，则ED=9﹣x，BE=9﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， 即32+x2=（9﹣x）2， 解得x=4， ∴AE的长是4， ∴BE=9﹣4=5， 故选C． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键． 4.（2008秋?奎文区校级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？ 【考点】勾股定理的应用． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：， 解得：x=12（尺）， 芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就． 三：勾股定理应用：求最短距离问题 1.（2014秋?环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm 【考点】平面展开-最短路径问题． 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：将长方体展开，连接A、B′， 则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm， 根据两点之间线段最短，AB′==10cm． 故选C． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 2.（2016春?繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm 【考点】平面展开-最短路径问题． 【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可． 【解答】解：（1）如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm； （2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm， Rt△ADP中，AP==6cm． 综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm． 故选A． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键． 3.（2016?大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上