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加法与乘法原理
本讲知识要点:
加法原理:如果做完一件事情有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数。
乘法原理:如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有方法数。
分类与分步的区别:分类是指完成事情的不同方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事。这些时候一般用加法原理;分布是指完成事情的不同步骤,每一步都必须执行,它们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事。这种情况一般要用乘法原理。
4、用乘法原理解题,分步应注意的事项:
1)每步必须全部完成才能满足结论;
2)必须先确定以什么来分步;
3)定好第一步后,再确定第二步,第三步,……。一般是特殊优先原则,即谁的条件要求苛刻,先确定谁。
每一步前后相互独立,前面的步骤不能影响后面的步骤,否则就不能用乘法原理解决。
本讲例题练习:
例题1:阿奇一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机。经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班。他们乘坐这些交通工具,一共可以有多少种不同的选择?
例题2:“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色。现在有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?
例题3:老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数,冬冬共有多少种不同的写法?
例题4:书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同。请问:
如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法?
如果从每一层中各取1本,共有多少种不同的取法?
3)如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法?
甲乙
甲
乙
丙
丁
例题6:如图,四张卡片上写有数字2、4、7、8,从中任取三张,排成一行,就可以组成一个三位数。一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的奇数?
8742
8
7
4
2
例题7:奥运场馆实行垃圾分类处理,每个地方放置五个垃圾筒,从左向右依次标明:电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造。现在准备把五个垃圾筒染成红、绿、蓝这三种颜色之一,要求相邻两个垃圾筒颜色不同,且回收废纸的垃圾筒不能染成红色,一共有多少种染色方法?
塑料
塑料
电池
废纸
易拉罐
不可
再造
例题8:如图,把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色。这幅图共有多少种不同的染色方法?
B
B
A
D
C
E
例题9:如图,用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色,每个小圆圈只能染一种颜色。请问:
如果每个小圆圈可以随意染色,一共有多少种不同的染色方法?
如果要求关于中间那条竖线左右对称,一共有多少种不同的染法?
例题10:甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车,会驾驶汽车A的只有甲和乙,汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶,一共有多少种不同的安排方案?
例题11:如图,4枚相同的棋子放入4×4的方格内,每个方格只能放1枚,且要求每行每列最多只能放1枚,一共有多少种不同的放法?
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