中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题.pdf

“将军饮马”老歌新唱 ——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题 王 柏 校 古希腊有位将军要从 A 地出发到河边去饮马，然后再到 B 地军营视察，问怎样选择饮 马地点，才能使路程最短？ A A 地 B B 地 0 C L 河流 A 图 1 这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段 之和最短的那个点来，我们只要设 L 为河（如图 1），作 AO⊥L 交 L 于 O点，延长 AO至 O AO L C C AC A ，使 A = ；连结 A B，交 于 ，则 点就是所要求的饮马地点。再连结 ，则 路程（ AC+CB）为最短的路程。 为什么饮马地点选在 C点能使路程最短？因为 A＇是 A 点关于 L 的对称点， AC与 A C 是相等的。 而 A B 是一条线段， 所以 A B 是连结 A＇、B 这两点间的所有线中， 最短的一条， 所以 AC+CB= A C+CB= A B也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧 妙的解题方法。 这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱， 近年来许多省市中考中出现了以此 故事为背景的试题， 它们所考查的深度和广度也在不断演变、 拓展， 而且又常与其他的数学 知识相联系， 数形结合， 突出了数学的思维价值和应用能力， 能够有效地体现学生的数学学 习能力，现从 2009 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。 一、演变成与正方形有关的试题 例 1 （2009 年抚顺）如图 2 所示，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小 值为（ ） A ． 2 3 B ． 2 6 C ．3 D ． 6 分析与解： 正方形 ABCD 是轴对称图形， 对角线 AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两 个顶点 B、D关于对角线 AC 对称 ,在这个问题中 D 和 E 是定点， P 是动点。我们可以找到一 个定点 D 的轴对称点 B ，连结 BE ，与对角线 AC 交点处 P 就是使距离和最小的点 （如图 3 ）， 而使 PD+PE 的和的最小值恰好等于 BE,因为正方形 ABCD 的面积为 12 ，所以它的边长为 2 3 ，即 PD + PE 的最小值为 2 3 。 二、演变成与梯形有关的试题 例 2 （2009 鄂州） 已知直角梯形 ABCD 中 AD∥BC,AB⊥ BC，AD=2, BC=DC=5, 点 P 在 BC上移 动，则当 PA+PD取最小值时，⊿ APD中边 AP上的高为（ ） 2