一元二次方程根与系数的关系典型例题.pdf

一元二次方程根与系数的关系 【同步教育信息】 一 . 本周教学内容： 一元二次方程的根与系数的关系 ［学习目标］ 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值； 根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣， 及树立勇于探索规律的精神。 二 . 重点、难点： 1. 教学重点： 一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系 数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2. 教学难点： 正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将 系数代入。 【典型例题】 例 1. 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 b 的值。 分析： 含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根， 并确定字母系数的值。 解： （方法一）设方程的另一根为 ，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为 x ，则 1 / 11 点拨： 解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例 2. 已知方程 的两根为 ，求下列代数式的值： （1） ；（ 2 ） ；（ 3） 分析： 若方程 两根 ，则不解方程， 可求出关于 的 对称式的值，只须将其配成含有 、 的形式。 解： 由已知，根据韦达定理 （1） （2 ） （3） 点拨： 体会配方思想，将代数式配成含有 的形式，再代系数即可。 例 3. 已知： 是两个不相等的实数，且满足 ， 那么求 的值。 2 / 11 分析： 由两个条件可得出 为方程 的两不等实根， 再对所求代数式 配方变形。 解： 由题意， 为 的两个不等实根 因而有 又 点拨： 善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例 4. 已知关于 x 的一元二次方程 与 有一个相同的根， 求 k 的值。 解： （解法一）设方程 两根α、 β，方程 的两根 ， 则有： 由 当 时，代入 当 时，由 代入 则 代入 把 代入 2 中， 或 （解法二）将 与 相减得： 此时方程根为 0 或 ，即题中两方程相同根为 0 或 （1）若是 0 则 ； （2 ）若是 ，则 ； 或 3 / 11 点拨： 两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程 与 有公共根，则公共根必满足方程