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余弦定理的 10 种证明方法
一、余弦定理
余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦
的积的两倍 , 即在 ABC 中, 已知 AB c , BC a , CA b , 则有
2 2 2
a b c 2bc cos A ,
2 2 2
b c a 2ca cos B ,
2 2 2
c a b 2ab cos C .
二、定理证明
为了叙述的方便与统一 , 我们证明以下问题即可 :
在 ABC 中, 已知 AB c , AC b , 及角 A , 求证 : a2 b2 c2 2bc cos A .
证法一 : 如图 1, 在 ABC 中, 由 CB AB AC 可得 :
C
CB CB (AB AC ) ( AB AC)
2 2
AB AC 2AB AC
2 2
b c 2bc cos A
A B
即, a2 b2 c2 2bc cos A . 图 1
证法二 : 本方法要注意对 A 进行讨论 .
2 2 2 2 2 2 2
(1) 当 A 是直角时 , 由b c 2bc cos A b c 2bc cos90 b c a 知结论成立 .
(2) 当 A 是锐角时 , 如图 2-1, 过点 C 作 CD AB , 交 AB 于点 D , 则
在 Rt ACD 中, AD bcos A , CD b sin A .
从而 , BD AB AD c b cos A .
C
在 Rt BCD 中, 由勾股定理可得 :
2 2 2
BC BD CD
2 2
(c bcosA) (bsin A)
2 2 A D
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