单同调代数简介──概念与简易计算.docx

PAGE PAGE 1 單同調代數簡介──概念與簡易計算 主講：杜侑潮 引言： 拓樸﹝ topology﹞的概念在 Riemann 的時期就已經存在，而 Betti 承繼黎曼的想法，發展了一些流形﹝ manifold ﹞上的拓樸理論，包括定義 Betti 數。不過， 拓樸的有力使用大概是從 Poincare開始的。這裡所介紹的單同調﹝ homology﹞就是其中一項，這個理論可以對曲面以及更高維的抽象流形進行分類工作，得到一 些分析上的性質 。例如著名的歐拉常數──對於任何一個多面體 ，點數 – 邊數 + 面數 = 2 也可以由此方法導出。我們的目標是大約介紹一下單同調的定義以及一些例子的計算，使得各位可以對這個理論有點了解。 一、Rn 中的抽象多面體 Poincare研究 n 維歐式空間 Rn 中圖形的基本想法，就是將圖形切割成一堆簡單的部分，並且考慮這些片段間的關係。首先我們定義什麼叫做簡單的部分： 簡單形﹝ simplex﹞：Rn 中的點 P0,P1,...,Pk 稱為線性獨立 ，若由這些點所生成的超曲面──所有以下形式的點 P= x0P0 + x1 P1 + + xkPk，x0, x1, , xk 屬於 R 而且 1 x0+x1+ +xk=1──具有 k 維度 。在這個情況下，每個在此簡單形中的點 P 都唯 一決定 x0 ,x1 , ,xk 。這些數被稱作點 P 相對於系統 P0 ,P1 , , Pk 的分中座標 ﹝ barycentric ﹞ 現在假設 P0,P1,...,Pk 是 Rn 中線性獨立的點。在 Rn 中包含 P0,P1 ,...,Pk 的最小凸子合﹝ convex subset﹞是點集 S ={ P= x0P0 + x1 P1 + + xkPk│x0+x 1+ +xk=1, xi ≧ 0 for i= 0,1, ,k}。我們可以平移 - P0，使得一開始的 P0 = 0。我們將上面的集合寫作 S = (P0; P1; ...; Pk)，並且稱 S 是 k 維的線性簡單形 。 下面我們定義什麼是 有向簡單形﹝ oriented simplex ﹞。有向簡單形 (P0; P1; ...; Pk) 是集合 S 加上一個給定的 定向﹝ orientation ﹞在對頂點 P0,P1,...,Pk 排序上。假設M 是 0,1, ,k 的一個順序變換 ，那麼若 M 是一個偶轉換﹝兩兩交換共偶數次﹞， 則(P0; P1; ...; Pk)和(PM(0); PM(1) ; ...; PM(k) )視為有相同定向。一個 0 維簡單形為一個點， 1 維簡單形為一個有向線段，二維簡單形為一個有向三角形，以此類推。若 (P0; P1; ...; Pk)是一個簡單形， { i 0, i1, ..., ir } 是{ 0,1, ,k } 的一個子集，那麼 (Pi0; Pi1; ...; Pir)稱作 (P0; P1; ...; Pk) 的一個 r 維面﹝ r-dimentional face ﹞。一個 k 維簡單形是它自己的一個 k 維面。因此我們可以有以下定義： 一個由 Rn 中的簡單形構成的集合 T 稱作一個 簡單複形﹝ simpicial complex ﹞當下列條件滿足時── 1 舉例來說，點是 0 維，曲線是 1 維，曲面是 2 維，立體圖形是 3 維。 如果一個簡單形 A 屬於 T，則所有 A 的面也屬於 T 任何兩個 T 中的簡單形的交集是空集合或者是一個面 假設 P 是 T 中某個簡單形中的一個點。那麼 P 在 Rn 中有一個 鄰域 ﹝ neighborhood ﹞ 只和有限個 T 中的簡單形有非空交集。 T 中的 0 維簡單形稱為 T 中的頂點。T 的維度為 T 中最高維的簡單形的維度。所有 T 中 k 維的簡單形構成的子集記作 Tk。一個多面體﹝ polyhedron ﹞就是一個complex 中所有簡單形的連集。 二、拓樸多面體 在這裡我們要將上面的定義作較為抽象的推廣。假設 T 是一個拓樸空間 ﹝ topological space﹞ 2， T 的一個子集 S 稱作 k 維簡單形﹝ k-dimentional simplex﹞ 若有一個同胚﹝ homeomorphism﹞3映射 f 將一個 k 維線性簡單形﹝如前面所定義的﹞映射到 S。這裡記作﹝ S, f﹞ 若存在 T 的一個分割使得拓樸空間 T 變成一個 complex──其中的所有簡單形的連集是 T 而且滿足 complex 的三個條件──這樣的拓樸空間 T 稱為一個 拓樸多面體﹝ topological polyhedron ﹞ 註記 1：一個 2 維的 complex 稱作其拓樸多面體上的 三角化﹝ triangulation ﹞