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用构造法求数列的通项公式
上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差 (或者通过计
算可以求出数列的首项 ,公比),来求数列的通项公式。 但实际上有些数列并不是等
差、等比数列 ,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。而这些题目
往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列
的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的
类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
1 1
例如： { } 中，若 a 2, 4(n N ), 求 an
数列 a n 1
a n 1 an
1
设 b ,则 b b +4,
n n 1 n
a n
即 bn 1 bn ＝４，
{ bn ｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出 b n
n ,然再求后数列 { a } 的通项。
1 1
n n n
练习： 1)数列 { a } 中，a ≠0，且满足 a1 , a n 1 , (n N ), 求 a
2 1
3
a
n
2a
2)数列 { a n } 中， a1 1,a n 1 n , 求 an 通项公式。
a 2
n
n a 1,a 0,且a 2a a a 0(n 2,n N ), 求 an
3)数列 { a } 中, 1 n n n n 1 n 1 .
二．构造形如 bn an 2 的数列。
例：正数数列 { an } 中，若 a 5,a 2 a 2 4(n N ),求a
1 n 1 n n
2
解：设
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